考虑结构局部变形特性的超长桁架结构等效动力学建模

孙俊，晏筱璇，朱东方，孙杰; Sun Jun; Yan Xiaoxuan; Zhu Dongfang; Sun Jie

引 en

考虑结构局部变形特性的超长桁架结构等效动力学建模^*

孙俊^1,2
机构：
1. 上海航天控制技术研究所,上海 201109
2. 上海市空间智能控制技术重点实验室,上海 201109
×
，晏筱璇^1,2
机构：
1. 上海航天控制技术研究所,上海 201109
2. 上海市空间智能控制技术重点实验室,上海 201109
×
，朱东方^1,2
机构：
1. 上海航天控制技术研究所,上海 201109
2. 上海市空间智能控制技术重点实验室,上海 201109
×
，孙杰^1,2
机构：
1. 上海航天控制技术研究所,上海 201109
2. 上海市空间智能控制技术重点实验室,上海 201109
×

1. 上海航天控制技术研究所,上海 201109；
2. 上海市空间智能控制技术重点实验室,上海 201109；

Equivalent Dynamic Modeling of Super-Long Truss Structure Considering Local Deformation Characteristics of Structure^*

Sun Jun^1,2
Affiliation：
1. Shanghai Aerospace Control Technology Institute,Shanghai 201109 ,China
2. Shanghai Key Laboratory of Aerospace Intelligent Control Technology,Shanghai 201109 ,China
×
，Yan Xiaoxuan^1,2
Affiliation：
1. Shanghai Aerospace Control Technology Institute,Shanghai 201109 ,China
2. Shanghai Key Laboratory of Aerospace Intelligent Control Technology,Shanghai 201109 ,China
×
，Zhu Dongfang^1,2
Affiliation：
1. Shanghai Aerospace Control Technology Institute,Shanghai 201109 ,China
2. Shanghai Key Laboratory of Aerospace Intelligent Control Technology,Shanghai 201109 ,China
×
，Sun Jie^1,2
Affiliation：
1. Shanghai Aerospace Control Technology Institute,Shanghai 201109 ,China
2. Shanghai Key Laboratory of Aerospace Intelligent Control Technology,Shanghai 201109 ,China
×

1. Shanghai Aerospace Control Technology Institute,Shanghai 201109 ,China；
2. Shanghai Key Laboratory of Aerospace Intelligent Control Technology,Shanghai 201109 ,China；

通讯作者:

晏筱璇,E-mail∶yanxiaoxuan@nuaa.edu.cn

中图分类号:V414.2

文献标识码:A

文章编号:1672-6553-2023-21(2)-049-009

DOI:10.6052/1672-6553-2022-035

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出版信息

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目录contents

摘要 Abstract
关键词 Keywords
1 周期单元动能
2 周期单元应变能
2.1 不考虑结构变形的应变能
2.2 考虑结构变形的应变能
3 运动方程
4 算例分析
5 结论
参考文献

摘要

超长桁架结构是后续高时空分辨率天基遥感载荷的核心部件,建立其高效动力学模型是实现振动形态高精度控制的关键.为建立高效、精确的动力学模型,首先,根据超长桁架结构的周期性特征和振动变形特性,采用周期单元中心处位移表征整体桁架结构的空间位移,并分别推导了是否考虑桁架结构局部变形特性的两种应变能表达式;其次,根据哈密顿原理以及边界条件,建立了两种不同的等效动力学模型.最后,通过对两种等效模型与超长桁架结构固有特性的对比分析,验证了等效建模的有效性以及考虑局部变形特性提高模型精度的必要性.

Abstract

The super-long truss structure is the core component of the subsequent high spatiotemporal resolution space-based remote sensing load, and the establishment of its efficient dynamic model is the key to achieve high-precision vibration control. In order to establish an efficient and accurate dynamic model, firstly, according to the periodic characteristics and vibration deformation characteristics of the super-long truss structure, the displacement at the center of the periodic element is used to characterize the spatial displacement of the whole truss structure. Two kinds of strain energy expressions for considering the local deformation characteristics of the truss structure are derived respectively, and then, according to the Hamiltonian principle and boundary conditions, two different equivalent dynamic models are established. Finally, through the comparative analysis of the inherent characteristics of the two equivalent models and the super-long truss structure, the effectiveness of the equivalent modeling and the necessity of considering the local deformation characteristics to improve the accuracy of the model are verified.

关键词

超长桁架结构；局部变形特性；能量等效；等效建模

Keywords

super-long truss structure ； local deformation characteristics ； energy equivalent ； equivalent modeling

引言
超长一字型空间桁架结构卫星是具有更长尺度、更大面积空间结构的航天器，在观测幅宽、遥感分辨率和资源收集效率等方面具有无可比拟的优势.为了满足高时空分辨率空间遥感任务要求，需深入开展大型空间桁架结构的动力学建模及振动控制技术研究^[1，2].有限元方法是结构动力学建模的常用方法之一，具有精度高、结果直观等优势.但是，对于大柔性复杂空间桁架结构，有限元方法计算耗时长，并且在建模过程中会产生较高的自由度，难以满足高动态高精度振动控制需求^[3].因此，在保证动力学计算精度和效率的同时，建立超长桁架结构的等效简化模型，对其在轨振动控制具有非常重要的意义^[4，5].
19世纪60年代初，首次提出等效连续体建模思路，并基于有限差分的连续体建模方法建立了支撑桁架、平面网格结构等大型桁架的等效动力学模型，并分析了结构的动力学特性^[6，7，8].另外，为了分析结构力学演变特性，针对平面桁架结构等效建模问题，提出了基于数学推导建立的均匀化方法^[9].Reis等^[10]采用均匀化方法建立了平面周期桁架结构初始屈服曲面的等效模型，并模拟了曲面的硬化过程.除了上述基于牛顿第二定律的有限差分法和均匀化方法的等效建模方法外，基于哈密顿原理的能量等效建模方法也应用较为广泛.1978年，Noor等^[11，12]提出了一种基于能量等效原理的等效连续体建模方法，分别将一字型和网状型桁架结构等效为空间梁模型和板模型，并获得了等效模型各个方向的刚度项和惯性项.基于能量等效方法，Salehian等^[13，14]将一字型平面桁架周期单元结构等效为二维梁模型，针对等效梁模型开展了动力学特性分析，与实验结果基本一致.在此基础上，郭宏伟等^[15]以环形天线桁架结构为研究对象，采用能量等效原理获得了相应的等效梁模型的刚度矩阵和质量矩阵，并基于有限元方法建立了结构的动力学模型.张伟等^[16]将环形桁架天线中单个周期单元等效为薄板模型，获得了含铰链的单个周期结构的等效刚度矩阵，并进行了动力学特性分析.刘梅等^[17]建立了空间三棱柱桁架结构的等效梁模型，并将等效模型的动力学特性与有限元数值结果进行对比分析，两者精度相当.
综上，上述成果主要研究了均布质量桁架结构的等效动力学建模，但其无法解决非均布质量桁架结构耦合振动建模问题.而后续高时空分辨率空间遥感载荷采用的超长桁架结构是一类非均布质量结构.考虑非均布质量引发的结构局部变形特性^[18]，即胞元内杆件的变形与整体桁架结构变形趋势不完全一致，在应变分量的表达式中引入应变导数项，可以更为平滑地描述含局部变形的宏观结构变化.与不考虑局部变形的情况相比，保留应变梯度相当于加入了高阶项，使得应变函数更加光滑，可以更准确地逼近真实应变，提高等效梁模型的精度，对后续非线性问题求解精度的提升有重大意义.
因此，本文针对一类典型的带底板超长一字型空间桁架结构，开展非均匀质量分布结构的等效动力学建模.此类结构主要是由几何构型相同的周期单元一字排列构成.为了建立其高效、精确动力学模型，考虑非均布质量引发的结构局部变形特性，在应变分量的表达式中引入应变导数项，并基于能量等效原理，建立结构的等效梁动力学模型.为验证等效建模的有效性和分析考虑局部变形特性与否对结构固有特性描述精度的影响，将两种等效模型与超长桁架结构固有特性进行对比，结果表明所提出的考虑局部变形的等效建模方法具有更高的精度，平均误差为0.225%.
1 周期单元动能
超长桁架结构由多个周期单元刚性连接构成，如图1所示.其中，周期单元是由横杆、纵杆、斜杆和底板组成的三棱柱结构，见图1（b）.将坐标原点建立在周期单元中心处，并假设横截面上的位移分量是线性变化的.杆件上任意一点的位移分量都可以根据横截面中心处的位移分量线性表示，并且考虑拉伸应变和剪切应变对位移分量产生的影响，因此线性变化的位移场可表示为:

\{\begin{matrix} u (x, y, z) = \bar{u} (x) - y {\bar{φ}}_{z} (x) + z {\bar{φ}}_{y} (x) \\ v (x, y, z) = \bar{v} (x) + y {\bar{ε}}_{y} (x) + z (- {\bar{φ}}_{x} (x) + {\bar{γ}}_{y z} (x)) \\ w (x, y, z) = \bar{w} (x) + z {\bar{ε}}_{z} (x) + y ({\bar{φ}}_{x} (x) + {\bar{γ}}_{y z} (x)) \end{matrix}

(1)

式中， $\bar{u} （ x ）$ ， $\bar{v} （ x ）$ ， $\bar{w} （ x ）$ 为横截面中心点在x、y和z三个方向的位移; ${\bar{φ}}_{x} （ x ）， {\bar{φ}}_{y} （ x ）， {\bar{φ}}_{z} （ x ）$ 为任一点处横截面绕x轴、y轴和z轴的转角; ${\bar{ε}}_{y} （ x ）$ ， ${\bar{ε}}_{z} （ x ）$ 为横截面中心点在y和z方向的正应变， ${\bar{γ}}_{y z} （ x ）$ 为横截面的剪切应变.
图1 带底板的超长桁架结构
Fig.1 long truss structure with panel
将公式（1）中的位移u，v，w关于x在坐标原点处进行泰勒展开，并忽略应变的导数项，则单元内任一点的位移和转角可由坐标原点处的位移、转角、应变和曲率表示为

\{\begin{matrix} u (x) \approx u^{0} + x ε_{x}^{0} - y (φ_{z}^{0} + x κ_{y}^{0}) + z (φ_{y}^{0} + x κ_{z}^{0}) \\ v (x) \approx v^{0} + x (φ_{z}^{0} + γ_{x y}^{0}) + y ε_{y}^{0} + \\ z (- φ_{x}^{0} - x κ_{x}^{0} + \frac{1}{2} γ_{y z}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2} κ_{y}^{0} \\ w (x) \approx w^{0} + x (- φ_{y}^{0} + γ_{x z}^{0}) + z ε_{z}^{0} + \\ y (φ_{x}^{0} + x κ_{x}^{0} + \frac{1}{2} γ_{y z}^{0}) - \frac{1}{2} x^{2} κ_{z}^{0} \end{matrix}

(2)

式中， $u^{0} ， v^{0} ， ω^{0} ， φ_{x}^{0} ， φ_{y}^{0} ， φ_{z}^{0}$ 分别为单元中心处位移和转角; $ε_{x}^{0} ， ε_{y}^{0} ， ε_{z}^{0} ， γ_{x y}^{0} ， γ_{x z}^{0} ， γ_{y z}^{0} ， κ_{x}^{0} ， κ_{y}^{0}$ 和 $κ_{z}^{0}$ 分别为该处的应变和曲率.
桁架中第k根杆件的动能由刚体运动贡献，即质心的平动动能和绕质心的转动动能组成，因此可以由杆件两端点速度表示:

\begin{matrix} T^{(k)} = \frac{1}{6} ρ^{(k)} l^{(k)} A^{(k)} (V_{x, 1}^{2} + V_{y, 1}^{2} + V_{z, 1}^{2} + V_{x, 2}^{2} + \\ V_{y, 2}^{2} + V_{z, 2}^{2} + V_{x, 1} V_{x, 2} + V_{y, 1} V_{y, 2} + V_{z, 1} V_{z, 2}) \end{matrix}

(3)

式中，下标x，y，z分别表示沿坐标系三个方向的速度分量，下标1和2表示杆件的两个端点，并且速度可由公式（2）对时间t求导获得.因此，周期单元中杆件的总动能为:

\begin{matrix} T_{b} = \sum_{k = 1}^{18} T^{(k)} \\ = b_{1} [{(\frac{\partial u^{0}}{\partial t})}^{2} + {(\frac{\partial v^{0}}{\partial t})}^{2} + {(\frac{\partial w^{0}}{\partial t})}^{2}] + \\ b_{2} {(\frac{\partial φ_{x}^{0}}{\partial t})}^{2} + b_{3} [{(\frac{\partial φ_{y}^{0}}{\partial t})}^{2} + {(\frac{\partial φ_{z}^{0}}{\partial t})}^{2}] \end{matrix}

(4)

式中，

\begin{matrix} b_{1} = 3 (A_{1} l_{1} ρ_{1} + A_{2} l_{2} ρ_{2} + A_{3} l_{3} ρ_{3}) \\ b_{2} = l_{1}^{2} (A_{1} l_{1} ρ_{1} + 2 A_{2} l_{2} ρ_{2} + A_{3} l_{3} ρ_{3}) \\ b_{3} = \frac{1}{2} b_{2} \end{matrix}

(5)

其中，下标1，2，3分别代表横杆、纵杆和斜杆; A，l，ρ分别表示杆的横截面积，长度和密度.
对于超长桁架结构卫星，底板的大部分质量均布在四周边框部位，其与支撑桁架采用旋转铰链连接.为简化模型，可忽略底板的弹性应变能，只考虑动能，将其视为附加质量.因此底板可等效为集中质量点并均匀分布在底部横梁和纵梁上，如图2所示.以半个周期单元为例，底板质量为m_p，等效质量点分布方式多样，最简单的为均匀分布在四个节点上，然后依次在纵梁横梁上均分布1，2，···，N个质量点.
图2 底板等效为集中质量点
Fig.2 Panel modeled as lumped masses
等效质量点动能可表示为:

T_{p} = \frac{m_{p}}{2 (4 + 4 N)} \sum_{m = 1}^{8 + 8 N} [{(\frac{\partial u^{(m)}}{\partial t})}^{2} + {(\frac{\partial v^{(m)}}{\partial t})}^{2} + {(\frac{\partial w^{(m)}}{\partial t})}^{2}]

(6)

式中，上标m为第m个质量点，并将公式（1）带入上式，获得底板动能:
$\begin{matrix} T_{p} = m_{p} [{(\frac{\partial u^{0}}{\partial t})}^{2} + {(\frac{\partial v^{0}}{\partial t})}^{2} + {(\frac{\partial w^{0}}{\partial t})}^{2}] + \\ α_{1} {(\frac{\partial φ_{x}^{0}}{\partial t})}^{2} + \frac{m_{p} l_{1}^{2}}{12} {(\frac{\partial φ_{y}^{0}}{\partial t})}^{2} + α_{2} {(\frac{\partial φ_{z}^{0}}{\partial t})}^{2} + \end{matrix}$

\frac{\sqrt{3} m_{p} l_{1}}{3} (\frac{\partial v^{0}}{\partial t} \frac{\partial φ_{x}^{0}}{\partial t} - \frac{\partial u^{0}}{\partial t} \frac{\partial φ_{y}^{0}}{\partial t})

(7)

式中，系数α₁和α₂与质量点的数量相关，表1给出了N取不同值时的系数α₁和α₂.
表1 系数α₁和α₂
Table1 Coefficients α₁ and α₂
将支撑桁架动能和底板动能相加获得周期单元总动能:
$T_{e} = T_{b} + T_{p}$

\begin{matrix} = B_{1} [{(\frac{\partial u^{0}}{\partial t})}^{2} + {(\frac{\partial v^{0}}{\partial t})}^{2} + {(\frac{\partial w^{0}}{\partial t})}^{2}] + \\ B_{2} {(\frac{\partial φ_{x}^{0}}{\partial t})}^{2} + B_{3} {(\frac{\partial φ_{y}^{0}}{\partial t})}^{2} + B_{4} {(\frac{\partial φ_{z}^{0}}{\partial t})}^{2} + \\ B_{5} (\frac{\partial v^{0}}{\partial t} \frac{\partial φ_{x}^{0}}{\partial t} - \frac{\partial u^{0}}{\partial t} \frac{\partial φ_{y}^{0}}{\partial t}) \end{matrix}

(8)

式中

(9)

2 周期单元应变能
根据公式（1）的空间导数获得周期单元的应变关系:

\{\begin{matrix} ε_{x} = {\bar{ε}}_{x} (x) - y \frac{\partial {\bar{φ}}_{z} (x)}{\partial x} + z \frac{\partial {\bar{φ}}_{y} (x)}{\partial x} = {\bar{ε}}_{x} (x) - y κ_{y} (x) + z κ_{z} (x) \\ ε_{y} = {\bar{ε}}_{y} (x) \\ ε_{z} = {\bar{ε}}_{z} (x) \\ γ_{x y} = \frac{1}{2} [- {\bar{φ}}_{z} (x) + \frac{\partial \bar{ϑ} (x)}{\partial x} + y \frac{\partial {\bar{ε}}_{y} (x)}{\partial x} + z (- \frac{\partial {\bar{φ}}_{x} (x)}{\partial x} + \frac{\partial {\bar{γ}}_{y z} (x)}{\partial x})] \\ γ_{x z} = \frac{1}{2} [{\bar{φ}}_{y} (x) + \frac{\partial \bar{w} (x)}{\partial x} + z \frac{\partial {\bar{ε}}_{z} (x)}{\partial x} + y (\frac{\partial {\bar{φ}}_{x} (x)}{\partial x} + \frac{\partial {\bar{γ}}_{y z} (x)}{\partial x})] \\ γ_{y z} = {\bar{γ}}_{y z} (x) \end{matrix}

(10)

若将上式在坐标原点关于x进行Taylor级数展开，则周期单元内任意点的应变分量可利用中心点处的应变分量和曲率来表示.
2.1 不考虑结构变形的应变能
公式（10）在坐标原点处关于x进行一阶Taylor展开，并忽略应变的导数项，可获得周期单元内任意点的应变分量表达式:

\{\begin{matrix} ε_{x} (x, y, z) = ε_{x}^{0} - y κ_{y}^{0} + z κ_{z}^{0} \\ ε_{y} (x, y, z) = ε_{y}^{0} \\ ε_{z} (x, y, z) = ε_{z}^{0} \\ γ_{x y} (x, y, z) = γ_{x y}^{0} - \frac{1}{2} z κ_{x}^{0} \\ γ_{x z} (x, y, z) = γ_{x z}^{0} + \frac{1}{2} y κ_{x}^{0} \\ γ_{y z} (x, y, z) = γ_{y z}^{0} \end{matrix}

(11)

式中， $ε_{x}^{0} ， ε_{y}^{0} ， ε_{z}^{0} ， γ_{x y}^{0} ， γ_{x z}^{0} ， γ_{y z}^{0} ， κ_{x}^{0} ， κ_{y}^{0} ， κ_{z}^{0}$ 为坐标原点处应变和曲率，表达式如下:

\begin{matrix} κ_{x}^{0} = {\frac{\partial {\bar{φ}}_{x} (x)}{\partial x}|}_{x = 0} κ_{y}^{0} = {\frac{\partial {\bar{φ}}_{z} (x)}{\partial x}|}_{x = 0} \\ κ_{z}^{0} = {\frac{\partial {\bar{φ}}_{y} (x)}{\partial x}|}_{x = 0} \\ γ_{x y}^{0} = {\frac{1}{2} (- {\bar{φ}}_{z} (x) + \frac{\partial - \bar{v} (x)}{\partial x})|}_{x = 0} \\ γ_{x z}^{0} = {\frac{1}{2} ({\bar{φ}}_{y} (x) + \frac{\partial \bar{w} (x)}{\partial x})|}_{x = 0} \end{matrix}

(12)

在计算周期单元内杆件在各个方向的应变时，需要将杆件局部坐标系下的位移和转角带入公式（10）.第k个杆件的轴向应变可由其6个应变分量表示为:

\begin{matrix} ε^{(k)} = ε_{x}^{(k)} l^{(k) 2} + ε_{y}^{(k)} m^{(k) 2} + ε_{z}^{(k)} n^{(k) 2} + \\ 2 γ_{x y}^{(k)} l^{(k)} m^{(k)} + 2 γ_{x z}^{(k)} l^{(k)} n^{(k)} + 2 γ_{y z}^{(k)} m^{(k)} n^{(k)} \end{matrix}

(13)

式中，上标k为杆件编号， $l^{（ k ）}$ ， $m^{（ k ）}$ ， $n^{（ k ）}$ 表示该杆件在周期单元坐标系下的方向余弦.考虑杆件的轴向应变能，则周期单元总应变能U_e可通过各杆件应变能相加获得，

U_{e} = \sum_{k = 1}^{m} U^{(k)} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{m} E^{(k)} A^{(k)} L^{(k)} {(ε^{(k)})}^{2}

(14)

将桁架结构等效为剪切变形梁模型，则需要消除沿y和z方向的拉伸应力以及横截面内的剪应力^[9]，即令:

\frac{\partial U_{e}}{\partial ε_{y}^{0}} = \frac{\partial U_{e}}{\partial ε_{z}^{0}} = \frac{\partial U_{e}}{\partial γ_{y z}^{0}} = 0

(15)

由上式可得 $ε_{y}^{0} ， ε_{z}^{0} ， γ_{y z}^{0}$ 关于 $ε_{x}^{0} ， γ_{x y}^{0} ， γ_{x z}^{0} ， κ_{x}^{0} κ_{y}^{0} ， κ_{z}^{0}$ 个应变分量的表达式，代回公式（14）化简，并与式（12）结合后得:
$\begin{matrix} U_{e} = C_{1} {(\frac{\partial u^{0}}{\partial x})}^{2} + C_{2} {(\frac{\partial φ_{x}^{0}}{\partial x})}^{2} + C_{3} {(\frac{\partial φ_{y}^{0}}{\partial x})}^{2} + \\ C_{3} {(\frac{\partial φ_{z}^{0}}{\partial x})}^{2} + C_{4} {(\frac{\partial v^{0}}{\partial x} - φ_{z}^{0})}^{2} + \end{matrix}$

C_{4} {(\frac{\partial w^{0}}{\partial x} + φ_{y}^{0})}^{2}

(16)

式中，

\begin{matrix} C_{1} = \frac{3 l_{2} (A_{3} A_{2} E_{3} E_{2} l_{1}^{3} + A_{3} A_{1} E_{3} E_{1} l_{2}^{3} + A_{2} A_{1} E_{2} E_{1} l_{3}^{3})}{A_{3} E_{3} l_{1}^{3} + A_{1} E_{1} l_{3}^{3}} \\ C_{2} = \frac{A_{3} E_{3} l_{2}^{2} l_{1}^{4}}{4 l_{3}^{3}} \\ C_{3} = \frac{l_{2} l_{1}^{2} (4 A_{3} A_{2} E_{3} E_{2} l_{1}^{3} + A_{3} A_{1} E_{3} E_{1} l_{2}^{3} + 4 A_{2} A_{1} E_{2} E_{1} l_{3}^{3})}{8 (A_{3} E_{3} l_{1}^{3} + A_{1} E_{1} l_{3}^{3})} \\ C_{4} = \frac{6 A_{3} E_{3} l_{2}^{2} l_{1}^{2}}{l_{3}^{3}} \end{matrix}

(17)

2.2 考虑结构变形的应变能
为了充分考虑结构横截面内局部变形的影响，将公式（10）在坐标原点处进行泰勒展开，并保留应变导数项，其中对ε_x，γ_xy，γ_xz进行一阶Taylor展开，对ε_y，ε_z，γ_yz进行二阶Taylor展开，从而有:

\{\begin{matrix} ε_{x} = ε_{x}^{0} - y κ_{y}^{0} + z κ_{z}^{0} + x (\frac{\partial ε_{x}^{0}}{\partial x} - y \frac{\partial κ_{y}^{0}}{\partial x} + z \frac{\partial κ_{z}^{0}}{\partial x}) \\ ε_{y} = ε_{y}^{0} + x \frac{\partial ε_{y}^{0}}{\partial x} + \frac{1}{2} x^{2} \frac{\partial^{2} ε_{y}^{0}}{\partial x^{2}} \\ ε_{z} = ε_{z}^{0} + x \frac{\partial ε_{z}^{0}}{\partial x} + \frac{1}{2} x^{2} \frac{\partial^{2} ε_{z}^{0}}{\partial x^{2}} \\ γ_{x y} = \frac{1}{2} [2 γ_{x y}^{0} + y \frac{\partial ε_{y}^{0}}{\partial x} + z (- κ_{x}^{0} + \frac{\partial γ_{y z}^{0}}{\partial x}) + x (2 \frac{\partial γ_{x y}^{0}}{\partial x} + y \frac{\partial^{2} ε_{y}^{0}}{\partial x^{2}} + z (- \frac{\partial κ_{x}^{0}}{\partial x} + \frac{\partial^{2} γ_{y z}^{0}}{\partial x^{2}}))] \\ γ_{x z} = \frac{1}{2} [2 γ_{x z}^{0} + y \frac{\partial ε_{z}^{0}}{\partial x} + y (κ_{x}^{0} + \frac{\partial γ_{y z}^{0}}{\partial x}) + x (2 \frac{\partial γ_{x z}^{0}}{\partial x} + z \frac{\partial^{2} ε_{z}^{0}}{\partial x^{2}} + y (\frac{\partial κ_{x}^{0}}{\partial x} + \frac{\partial^{2} γ_{y z}^{0}}{\partial x^{2}}))] \\ γ_{y z} = γ_{y z}^{0} + x \frac{\partial γ_{y z}^{0}}{\partial x} + \frac{1}{2} x^{2} \frac{\partial^{2} γ_{y z}^{0}}{\partial x^{2}} \end{matrix}

(18)

将上式代入公式（10）获得周期单元应变能，其中包含应变和曲率分量及其梯度共21个变量.

\begin{matrix} U_{e} = (f ε_{x}^{0}, γ_{x y}^{0}, γ_{x z}^{0}, κ_{x}^{0}, κ_{y}^{0}, κ_{z}^{0}, ε_{y}^{0}, ε_{z}^{0}, γ_{y z}^{0}, \frac{\partial ε_{x}^{0}}{\partial x}, \\ \frac{\partial ε_{y}^{0}}{\partial x}, \frac{\partial ε_{z}^{0}}{\partial x}, \frac{\partial γ_{x y}^{0}}{\partial x}, \frac{\partial γ_{x z}^{0}}{\partial x}, \frac{\partial γ_{y z}^{0}}{\partial x}, \frac{\partial κ_{x}^{0}}{\partial x}, \frac{\partial κ_{y}^{0}}{\partial x}, \frac{\partial κ_{z}^{0}}{\partial x}, \\ \frac{\partial^{2} ε_{y}^{0}}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} ε_{z}^{0}}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} γ_{y z}^{0}}{\partial x_{x}^{2}}) \end{matrix}

(19)

对于结构产生局部变形时，需要采用应变梯度来描述该类振动模式^[16].通常情况下允许局部变形自由发生，因此与应变梯度相关的力为零，即应变能相对于这些应变梯度的导数为零.

\begin{matrix} \frac{\partial U_{e}}{\partial \frac{\partial ε_{x}^{0}}{\partial x}} = \frac{\partial U_{e}}{\partial \frac{\partial ε_{y}^{0}}{\partial x}} = \frac{\partial U_{e}}{\partial \frac{\partial ε_{z}^{0}}{\partial x}} = \frac{\partial U_{e}}{\partial \frac{\partial γ_{x y}^{0}}{\partial x}} = \frac{\partial U_{e}}{\partial \frac{\partial γ_{y z}^{0}}{\partial x}} = \frac{\partial U_{e}}{\partial \frac{\partial κ_{x}^{0}}{\partial x}} = \\ \frac{\partial U_{e}}{\partial \frac{\partial κ_{y}^{0}}{\partial x}} = \frac{\partial U_{e}}{\partial \frac{\partial κ_{z}^{0}}{\partial x}} = \frac{\partial U_{e}}{\partial \frac{\partial^{2} ε_{y}^{0}}{\partial x^{2}}} = \frac{\partial U_{e}}{\partial \frac{\partial^{2} ε_{z}^{0}}{\partial x^{2}}} = \frac{\partial U_{e}}{\partial \frac{\partial^{2} γ_{y z}^{0}}{\partial x^{2}}} = 0 \end{matrix}

(20)

此外，仍将桁架结构等效为剪切变形梁模型，应变能表达式满足方程（18），与上述12个方程联立求解，获得由 $ε_{x}^{0} ， γ_{x y}^{0} ， γ_{x z}^{0} ， κ_{x}^{0} ， κ_{y}^{0} ， κ_{z}^{0}$ 表达的剩余15个变量的表达式，代入公式（19）并与式（11）结合获得周期单元应变能表达式.

\begin{matrix} U_{e} = D_{1} {(\frac{\partial u^{0}}{\partial x})}^{2} + D_{2} {(\frac{\partial φ_{x}^{0}}{\partial x})}^{2} + D_{3} {(\frac{\partial φ_{y}^{0}}{\partial x})}^{2} + \\ D_{3} {(\frac{\partial φ_{z}^{0}}{\partial x})}^{2} + D_{4} {(\frac{\partial v^{0}}{\partial x} - φ_{z}^{0})}^{2} + \\ D_{4} {(\frac{\partial w^{0}}{\partial x} + φ_{y}^{0})}^{2} \end{matrix}

(21)

式中

(22)

3 运动方程
利用周期单元的动能T_e和应变能U_e，采用哈密顿原理获得包含剪切应变和转动惯量影响的动力学方程，因此可将该桁架结构等效为 Timoshenko梁模型.结构的运动方程可整理为关于坐标分量 $u^{0} ， w^{0} ， φ_{y}^{0}$ 以及 $v^{0} ， φ_{x}^{0} ， φ_{z}^{0}$ 的两组耦合方程:

\{\begin{matrix} \frac{B_{5}}{2} \frac{\partial^{2} u^{0}}{\partial t^{2}} - B_{3} \frac{\partial^{2} φ_{y}^{0}}{\partial t^{2}} + C_{3} \frac{\partial^{2} φ_{y}^{0}}{\partial x^{2}} - C_{4} (\frac{\partial w^{0}}{\partial x} + φ_{y}^{0}) = 0 \\ - B_{1} \frac{\partial^{2} w^{0}}{\partial t^{2}} + C_{4} (\frac{\partial^{2} w^{0}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial φ_{y}^{0}}{\partial x}) = 0 \\ \frac{B_{5}}{2} \frac{\partial^{2} φ_{y}^{0}}{\partial t^{2}} - B_{1} \frac{\partial^{2} u^{0}}{\partial t^{2}} + C_{1} \frac{\partial^{2} u^{0}}{\partial x^{2}} = 0 \end{matrix}

(23)

\{\begin{matrix} 2 B_{1} \frac{\partial^{2} v^{0}}{\partial t^{2}} + B_{5} \frac{\partial^{2} φ_{x}^{0}}{\partial t^{2}} - 2 C_{4} (\frac{\partial^{2} v^{0}}{\partial x^{2}} - \frac{\partial φ_{z}^{0}}{\partial x}) = 0 \\ B_{5} \frac{\partial^{2} v^{0}}{\partial t^{2}} + 2 B_{2} \frac{\partial^{2} φ_{x}^{0}}{\partial t^{2}} - 2 C_{2} \frac{\partial^{2} φ_{x}^{0}}{\partial x^{2}} = 0 \\ B_{4} \frac{\partial^{2} φ_{z}^{0}}{\partial t^{2}} - C_{3} \frac{\partial^{2} φ_{z}^{0}}{\partial x^{2}} - C_{4} (\frac{\partial v^{0}}{\partial x} - φ_{z}^{0}) = 0 \end{matrix}

(24)

假设上述两组偏微分方程的谐波解为如下形式:

\{\begin{matrix} u^{0} = U e^{α x} e^{i ω t} \\ w^{0} = W e^{α x} e^{i ω t} \\ φ_{y}^{0} = Y e^{α x} e^{i ω t} \end{matrix} \{\begin{matrix} v^{0} = V e^{β x} e^{i p t} \\ φ_{x}^{0} = X e^{β x} e^{i p t} \\ φ_{z}^{0} = Z e^{β x} e^{i p t} \end{matrix}

(25)

式中，U，W，Y，V，X，Z为振动幅值，α、β为模态形状参数，ω、p为固有频率.将公式（25）代入运动方程（23）得到如下齐次线性方程组:

[\begin{matrix} - \frac{C_{5}}{2} ω^{2} - C_{4} α B_{3} ω^{2} + C_{3} α^{2} - C_{4} \\ 0 B_{1} ω^{2} + C_{4} α^{2} C_{4} α \\ B_{1} ω^{2} + C_{1} α^{2} 0 - \frac{B_{5}}{2} ω^{2} \end{matrix}] \{\begin{matrix} U \\ W \\ Y \end{matrix}\} = 0

(26)

若方程组有非零解，则矩阵行列式等于零，从而得到由频率ω表示的α_i（i=1~6）六个解.代回公式（26），获得由ω表示的振型向量[U_i W_i Y_i]^T（i=1~6）.因此运动方程的解可以通过振型向量和固有频率表示为:

\{\begin{matrix} u^{0} \\ w^{0} \\ φ_{y}^{0} \end{matrix}\} = \sum_{i = 1}^{6} d_{i} \{\begin{matrix} U_{i} \\ W_{i} \\ Y_{i} \end{matrix}\} e^{α_{i} x} e^{i ω t}

(27)

式中，d_i为模态贡献因子.根据结构边界条件求出振动频率.桁架天线结构的边界为一端自由一端固定，其边界条件为:

\{\begin{matrix} u^{0} (0, t) = 0 \\ w^{0} (0, t) = 0 \\ φ_{y}^{0} (0, t) = 0 \end{matrix} \{\begin{matrix} N (L, t) = 0 \\ Q_{z} (L, t) = 0 \\ M_{y} (L, t) = 0 \end{matrix}

(28)

式中，L为整体桁架长度，N、Q_z和M_y为轴向力、z方向剪切力和绕y轴的弯矩.利用应变能关系式求出周期单元的刚度矩阵，进而给出力与位移的关系.结合公式（26）和（28），获得六个线性代数方程，可以写成矩阵的形式:

[f (ω)] \{d_{i}\} = 0

(29)

若方程组有非零解，则系数行列式等于零，由此求出结构关于 $u^{0} ， w^{0} ， φ_{y}^{0}$ 的频率。采用相同的方法可以获得关于 $v^{0} ， φ_{x}^{0} ， φ_{z}^{0}$ 第二组运动方程.
4 算例分析
以图1所示带底板的桁架结构为例，选取50个周期单元进行计算.各杆件弹性模量E=6.89×1010Pa，密度ρ=1799kg/m².横杆和斜杆内径为0.0254m，外径为0.0244m，纵杆内径为0.0762m，外径为0.0742m.横杆和纵杆长度为3m，桁架总长为300m.一个周期单元内底板质量为120kg.
通过ANSYS软件对整体桁架结构进行有限元分析，并与等效梁模型结果进行对比，以验证等效模型的准确性.各杆件均采用Beam189单元进行模拟，底板等效为四个集中质量点采用MASS21单元进行模拟，边界条件为一端固定一端自由.桁架结构前三阶z方向的弯曲振型和前三阶的扭转振型如图3所示.等效梁模型计算出的第i阶固有频率的相对误差定义为

e_{i} = \frac{|f_{i}^{e q} - f_{i}^{f e m}|}{f_{i}^{f e m}} \times 100

(30)

式中，上标eq和fem分别代表等效梁模型和有限元计算结果.
图3 桁架结构振动模态
Fig.3 Mode shapes of truss structure
表2 结构关于 $u^{0} ， w^{0} ， φ_{y}^{0}$ 的频率（Hz）
Table2 Natural frequencies for coordinate $u^{0}, w^{0}, φ_{y}^{0}$ (Hz)
表2和表3分别给出了与 $u^{0} ， w^{0} ， φ_{y}^{0}$ 和 $v^{0} ， φ_{x}^{0} ， φ_{z}^{0}$ 相关的两组运动方程求解出的结构频率，并且两表均对有限元模型、不考虑局部变形和考虑局部变形的等效梁模型的固有频率进行对比.表2中前9阶均为z方向的弯曲频率.表3中上标T代表扭转频率，上标BT代表弯扭耦合频率，不带上标的为y方向的弯曲频率.前五阶y方向的弯曲频率与z方向的弯曲频率非常接近，即y和z方向的弯曲模态相似.但是，由于底板的质量分布使得桁架变为非对称结构，导致随着阶数的增加y和z方向的模态差异性增大，在第五阶弯曲频率后，y方向不再是单纯的弯曲模态，产生弯扭耦合.
表3 结构关于 $v^{0} ， φ_{x}^{0} ， φ_{z}^{0}$ 的频率（Hz）
Table3 Natural frequencies for coordinate $v^{0}, φ_{x}^{0}, φ_{z}^{0}$ (Hz)
图4 振动坐标 $u^{0} ， w^{0} ， φ_{y}^{0}$ 下等效梁模型误差
Fig.4 Error of equivalent beam model for coordinate $u^{0}, w^{0}, φ_{y}^{0}$
图5 振动坐标 $v^{0} ， φ_{x}^{0} ， φ_{z}^{0}$ 下等效梁模型误差
Fig.5 Error of equivalent beam model for coordinate $v^{0}, φ_{x}^{0}, φ_{z}^{0}$
采用公式（30）量化等效梁模型的计算误差，结果如图4和图5所示.从图中可以看出，考虑局部变形后等效梁模型误差分布在0.1%左右，精度较高，并且误差均小于模型1的误差.振动坐标 $u^{0} ， w^{0} ， φ_{y}^{0}$ 和 $v^{0} ， φ_{x}^{0} ， φ_{z}^{0}$ 下，两种等效梁模型之间平均误差分别为1.4%和0.225%左右.
对比底板等效为4个、12个、20个均布质量点的模型固有频率，如图6所示，结果表明:不同数量的质量点模型固有频率基本一致.因此，采用4个质量点模型即可满足精度要求.
图6 结构固有频率与质量点数量的关系
Fig.6 The relationship between the natural frequency of structure and the number of mass points
表4 带底板与不带底板桁架结构固有频率对（Hz）
Table4 Comparison of natural frequencies of truss structures with and without planes (Hz)
表2和表3分别给出了与 $u^{0} ， w^{0} ， φ_{y}^{0}$ 和 $v^{0} ， φ_{x}^{0}$ ，相关的两组运动方程求解出的结构频率，并且两表均对有限元模型、不考虑局部变形和考虑局部变形的等效梁模型的固有频率进行对比.表2中前9阶均为z方向的弯曲频率.表3中上标T代表扭转频率，上标BT代表弯扭耦合频率，不带上标的为y方向的弯曲频率.前五阶y方向的弯曲频率与z方向的弯曲频率非常接近，即y和z方向的弯曲模态相似.但是，由于底板的质量分布使得桁架变为非对称结构，导致随着阶数的增加y和z方向的模态差异性增大，在第五阶弯曲频率后，y方向不再是单纯的弯曲模态，产生弯扭耦合.
5 结论
本文对带底板的超长一字型空间桁架结构进行建模，基于能量等效原理，将整体桁架等效为一维梁模型.在计算结构能量时，分别从考虑结构局部变形和不考虑局部变形两个角度出发，给出了两种应变能表达式从而建立了两种等效梁的动力学模型.通过与有限元软件计算的桁架结构固有频率进行对比，结果表明考虑局部变形后的等效梁模型精度高于不考虑局部变形的等效模型，并且等效梁模型的平均误差为0.225%，精度较高，因此对于有高精度需求的非线性问题中考虑局部变形是必要的.由于底板弹性特性较复杂，因此忽略应变能只考虑动能，可以将其等效为均匀分布的集中质量点.根据计算结果，可以看出不同质量点数量下，结构的固有频率基本一致，因此采用4个质量点模型即可满足工程精度要求.
参考文献
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基本信息

中图分类号: V414.2
文献标识码: A
DOI: 10.6052/1672-6553-2022-035
文章编号: 1672-6553-2023-21(2)-049-009

基金信息

国家自然科学基金资助项目(12172213, 61903245)；
科技部重点研发计划(2018YFB0504802)；
上海市青年科技启明星计划(19QB1402100)；
The project supported by the National Natural Science Foundation of China (12172213,61903245)；
Key R & D programs of the Ministry of Science and Technology (2018YFB0504802)；
Sponsored by Shanghai Rising-Star Program(19QB1402100)；

引用信息

稿件历史

收稿日期: 2021-12-07

参考文献

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考虑结构局部变形特性的超长桁架结构等效动力学建模*

Equivalent Dynamic Modeling of Super-Long Truss Structure Considering Local Deformation Characteristics of Structure*

摘要

Abstract

关键词

Keywords

1 周期单元动能

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

2 周期单元应变能

(10)

2.1 不考虑结构变形的应变能

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

2.2 考虑结构变形的应变能

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

3 运动方程

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

4 算例分析

(30)

5 结论

参考文献

基本信息

基金信息

引用信息

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考虑结构局部变形特性的超长桁架结构等效动力学建模^*

Equivalent Dynamic Modeling of Super-Long Truss Structure Considering Local Deformation Characteristics of Structure^*