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引言
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金属泡沫材料由于内部孔隙的存在,具有轻质、隔热、减震的特性,通过定制内部孔隙的密度和尺度,可以获得所需的材料力学性能,因此,金属泡沫材料在能量吸收、轻质结构和热控制[1]等方面得到了广泛的应用.然而,多孔材料的内部孔隙降低了结构的强度和刚度,这限制了其在某些工程领域的应用.相关研究[2]表明,多孔材料可以填充低体积分数的碳材料,如石墨烯薄片(GPL)和碳纳米管,以弥补其强度和刚度的降低,特别是GPL增强复合材料[3,4]具有轻质、良好的导电和导热性能,因此,关于GPL增强复合材料结构的研究受到了广泛的关注.
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Kitipornchai等[5]研究了GPL增强多孔梁的自由振动特性.Ye和Wang[6]研究了FG-GPLRMF薄壁圆柱壳的非线性强迫振动特性.Yang等[7]基于切比雪夫-里兹方法分析了GPL增强多孔纳米复合板的屈曲和自由振动.Dong等[8,9]研究了GPL增强多孔纳米复合圆柱壳的屈曲和线性振动行为.Wang等[10]分析了GPLRMF圆柱壳的非线性自由振动特性.Yang和Chen[11]分析了裂纹对不同边界条件下功能梯度材料Euler-Bernoulli梁振动和屈曲的影响.刘涛等[12]分析了轴向运动功能梯度梁的横向振动频率特性.周磊[13]以含裂纹石墨烯增强功能梯度层合梁为研究对象,进行了动力稳定性行为分析.刘金建等[14]基于欧拉梁理论,研究了轴向运动功能梯度粘弹性梁横向振动的稳定性问题.
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虽然一些学者已经对石墨烯增强多孔结构开展了研究,但关于带裂纹石墨烯增强金属泡沫梁振动问题的研究尚未开展.本论文基于Timoshenko梁理论,研究带裂纹功能梯度石墨烯增强金属泡沫梁(FG-GPLRMF)的自由振动问题,包括控制方程推导和微分变换法的应用,研究了裂纹深度、裂纹位置、GPL几何尺寸、孔隙类型、GPL分布和长细比对带裂纹FG-GPLRMF梁自由振动特性的影响.
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1 材料特性与旋转弹簧模型
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1.1 材料特性
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图1(a)是长度为L、厚度为h的两端固定的Timoshenko梁模型,在距左端L1处包含一个深度为a的边缘裂纹.
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沿梁高度方向考虑了三种孔隙分布类型[10],即孔隙-a、孔隙-b和孔隙-c.孔隙-a和孔隙-b在梁高方向上呈对称分布.孔隙-a和孔隙-b的差异在于前者的中平面孔隙最大,后者的中平面孔隙最小.孔隙-c的孔隙大小均匀分布.
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图1 裂纹梁结构
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Fig.1 Configuration of cracked beam
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考虑了三种不同GPL分布方式[10],对于GPL-Ⅰ和GPL-Ⅱ,GPL相对梁中平面对称分布.对于GPL-I,最大的体积分数发生在梁的上表面和下表面;对于GPL-Ⅱ,最大体积分数发生在中面.对于GPL-Ⅲ,GPL均匀分布.
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其中Eg和ρg表示无孔GPL增强金属的杨氏模量和质量密度;P1、P2和P3表示孔隙系数;Pm1、Pm2和Pm3表示质量密度系数.
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1.2 旋转弹簧模型
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假定裂纹垂直于梁表面,且始终保持开放状态.Timoshenko梁的边缘裂纹造成了弯曲斜率的不连续以及开裂截面的横向位移.已有研究[16,17]表明,与弯曲斜率中的不连续性(I型断裂)相比,横向位移中的不连续性(Ⅱ型断裂)对系统总应变能的贡献要小得多,因此本分析中忽略Ⅱ型断裂的影响.将裂纹截面建模为如图1b所示的无质量弹性弹簧,可将开裂梁视为在开裂截面上由转动弹簧连接的两个子梁,其弯曲刚度为:
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其中G是裂纹引起的柔度,并且[18]
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其中M为裂纹截面弯矩,K1为I型弯曲荷载作用下的应力强度因子,E(a)为裂纹尖端的杨氏模量,ν为泊松比.
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通过拉格朗日插值技术,可以从Erdogan和Wu[19]给出的数据中得到应力强度因子的大小,即
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其中ζ≤0.7意味着仅考虑0至0.7的裂纹深度比.根据式(3)~式(5),可以确定裂纹部分的弯曲刚度.
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2 运动方程与微分变换法
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2.1 运动方程
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基于Timoshenko梁理论,梁任意点沿x轴和z轴的位移,用和表示,分别为
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其中U(x,t)和V(x,t)是中平面(z=0)上的位移分量,Θ是梁截面的转动角位移,t是时间.von Kármán型非线性应变-位移关系由下式给出[20]:
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正应力和剪切应力分别为
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这里
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裂纹FG-GPLRMF梁的动能T和势能W为[20]
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其中ΔΘ为Θ2(L1)-Θ1(L1);Ui、Θi、Vi中的下标i等于1,2,表示被裂纹分割的左子梁和右子梁.最后一项表示旋转弹簧产生的势能.
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将式(10)、式(11)中含Q11、Q55和ρGM(z)项定义为:
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其中κ=5/6是剪切修正系数.
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哈密顿原理由下式给出
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其中t1和t2分别表示初始时间和最终时间.
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引入如下无量纲变量
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其中A110和I10是无孔梁的A11和I1的值.
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梁连续性条件
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梁的位移函数设为[21]:
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这里λ是径向固有频率,γ是弦向固有频率.
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将式(10)~式(12),式(14)~式(16)代入式(13),即可得到简化后的运动方程:
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2.2 微分变换法
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本文将变换函数用大写字母表示,将原函数用小写字母表示.在定义域D中定义一个解析函数g(x),设x=x0表示D中的任意点.函数g(x)的微分变换定义为[15]
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其中,m是截断数.
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将Xu[15]中的表1和表2公式代入方程(17)以及两端固定边界条件,可以得到变换函数和对应边界条件.
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相容方程:
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在变换函数、边界条件和相容方程中:Ui(k),Vi(k)和Θi(k)分别是,和的微分变换.
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设U1(0)= C1,V1(0)= C2,Θ1(0)= C3,代入变换函数方程和对应边界条件,可以计算Ui(k),Vi(k)和Θi(k)的值.
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将Ui(k),Vi(k)和Θi(k)代入对应边界条件方程,可以解出λ.
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3 结果和讨论
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下面对图1中所示的FG-GPLRMF梁进行研究,参数如表1所示.
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FG-GPLRMF梁弯曲振动的固有频率收敛结果见表2,其中以P1 =0.5、WGPL =1.0%、GPL-I和孔隙-a为例.结果表明,在m=16时,固有频率趋于收敛,但考虑到精确性,在下面的计算中采用了m= 60.
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表1 FG-GPLRMF梁参数[20]
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Table1 Parameters of FG-GPLRMF beams[20]
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在图2中,研究了孔隙系数P1对固有频率的作用,其中考虑了不同的GPL分布方式和孔隙分布.随着P1的增加,孔隙-b和孔隙-c梁的固有频率减小.然而,对于孔隙-a梁,其固有频率先减小后增加.造成这种现象的原因是,当梁的几何尺寸保持不变时,固有频率与弯曲刚度(EIy)呈正相关,与单位长度的质量(ρT)呈负相关.进一步计算表明,当P1大于0.4时,弯曲刚度的相对变化小于质量的相对变化.此外,这三种孔隙分布的固有频率中,GPL-Ⅰ分布的固有频率最高,而GPL-Ⅱ分布的固有频率最低.因此,GPL-Ⅰ分布是提高结构刚度最有效的分布方式.以上结果表明,孔隙系数和GPL分布对FG-GPLRMF的自由振动有显著影响.
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图2 孔隙系数P1对梁的固有频率的影响(WGPL=0.01;L/h=16;a/h=0.2;L1/L=0.5)
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Fig.2 Natural frequencies of FG-GPLRMF beams for different porosity coefficient (WGPL=0.01; L/h=16; a/h=0.2; L1/L=0.5)
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图3给出了GPL重量分数WGPL对不同GPL分布方式和孔隙分布的FG-GPLRMF固有频率的影响.对于不同的GPL分布方式,固有频率随WGPL的增加而增加,其原因就在于增加石墨烯含量可增强梁刚度.通过将极少量的GPL分散到基质中,即可提高多孔梁的有效刚度.与其他分布模式相比,孔隙-a和GPL-Ⅰ分布方式的梁具有最大的固有频率.
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图3 GPL重量分数对FG-GPLRMF梁的固有频率的影响(L/h=16;a/h=0.2;L1/L=0.5;P1=0.50)
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Fig.3 Effect of GPL weight fraction on natural frequencies of FG-GPLRMF beams (L/h=16; a/h=0.2; L1/L=0.5; P1=0.50)
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图4给出了不同GPL尺寸对FG-GPLRMF梁固有频率的影响.图4(a)为FG-GPLRMF梁的固有频率随GPL长厚比lGPL/tGPL的变化情况.随着lGPL/tGPL的增加,固有频率增加.结果表明,当lGPL和wGPL保持固定时,单个GPL越薄,其刚度强化效果越好.图4(b)为固有频率随GPL长宽比lGPL/wGPL的变化规律.随着lGPL/wGPL的增加,固有频率减小.这表明,石墨烯的表面积越大,刚度增强效果越好.同时,由图4可以看出,当lGPL/tGPL≥102或lGPL/wGPL≥10时,强化效应随这些比值的变化不大.
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图4 GPL尺寸对FG-GPLRMF梁固有频率的影响(孔隙-a;P1=0.5;WGPL=1%;L/h=16;a/h=0.2;L1/L=0.5)
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Fig.4 Effect of geometrical size of GPL on natural frequency of FG-GPLRMF beams (Porosity-a; P1=0.5; WGPL=1%; L/h=16; a/h=0.2; L1/L=0.5; )
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图5研究了裂纹位置对FG-GPLRMF梁的固有频率的影响.结果表明,固有频率对位于梁中心的裂纹最为敏感.当裂纹靠近梁端时,裂纹的影响较小,裂纹位置由梁中心向梁端变化时,固有频率逐渐增加.
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图6研究了裂纹深度对FG-GPLRMF梁固有频率的影响.结果表明,随着裂纹深度增加,梁的固有频率降低,对于不同GPL分布方式,固有频率降低的速度大致相同,不同孔隙下裂纹梁固有频率都逐渐变小,这说明裂纹位置对频率的影响远超其他因素.
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图5 裂纹位置对FG-GPLRMF梁固有频率的影响(孔隙-a;WGPL=0.01;L/h=6;h=0.1;P1=0.5;L1/L=0.5)
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Fig.5 Effect of crack location on natural frequency of FG-GPLRMF beam (Porosity-a; WGPL=0.01; L/h=6; h=0.1; P1=0.5; L1/L=0.5)
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图6 裂纹深度对梁固有频率的影响(WGPL=0.01;L/h=6;P1=0.5;L1/L=0.5;h=0.1m)
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Fig.6 Effect of crack depth on natural frequency of beam (WGPL=0.01; L/h=6; P1=0.5; L1/L=0.5; h=0.1m)
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4 结论
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本文研究了带裂纹FG-GPLRMF梁的自由振动特性.利用哈密顿原理,得到了带裂纹FG-GPLRMF梁的运动方程,采用微分变换法分析了梁的固有频率.研究了裂纹深度、裂纹位置、GPL几何尺寸、孔隙类型、GPL分布和长细比对裂纹FG-GPLRMF梁自由振动特性的影响.主要结论如下:
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对于孔隙-b和孔隙-c梁,弯曲振动的固有频率随孔隙系数P1的增加而减小,对于孔隙-a梁,其固有频率先减小后增大.GPL-Ⅰ分布是提高结构刚度的最有效的分散方法.GPL的增强效应受到GPL分布和孔隙分布的影响.
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弯曲振动的固有频率随WGPL值的增加而增加,孔隙-a和GPL-Ⅰ分布方式的FG-GPLRMF梁具有最大固有频率.裂纹位置对于梁固有频率的影响是呈现对称性的,距离梁中心位置越近,固有频率受到影响越大.随着裂纹深度的增加,FG-GPLRMF梁的固有频率降低.
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摘要
分析了带裂纹功能梯度石墨烯增强金属泡沫梁的自由振动.采用Timoshenko梁理论进行建模,裂纹由无质量扭转弹簧模拟,利用Halpin-Tsai微观力学模型预测材料的有效性能.通过哈密顿原理,得到了带裂纹功能梯度石墨烯增强金属泡沫(FG-GPLRMF)梁的运动方程及其边界条件.采用微分变换法分析带裂纹FG-GPLRMF梁的自由振动.结果表明,带裂纹FG-GPLRMF梁的振动特性受到石墨烯几何尺寸、孔隙类型和石墨烯分布的影响显著.
Abstract
The free vibration of a cracked functionally graded graphene reinforced metal foam beams is analyzed in this paper. Modeling was carried out with Timoshenko beam theory, cracks were simulated by mass-free elastic torsion springs, and material effectiveness was predicted with Halpin-Tsai micro-mechanical model. The motion equation and boundary conditions of a cracked functionally graded graphene reinforced metal foam (FG-GPLRMF) beams are obtained by Hamilton's principle. Free vibration of FG-GPLRMF beams is analyzed by differential transformation method. The results show that the vibration characteristics of FG-GPLRMF beams are influenced by the geometrical size of graphene, the pore type and the distribution of graphene platelet.