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引言
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非完整系统是一类受到不可积微分约束的动力学系统[1],广泛应用于场论、机电动力系统、控制理论、工程科学等领域[2].20世纪80年代我国学者梅凤翔研究了带参数约束的一类可控系统[3]、变质量非完整约束系统.Maggi在1896年推广了拉格朗日第二类方程[4],对线性非完整约束系统得到一类动力学方程,后人称为Maggi方程[5],这些方程后来被推广到非线性非完整系统[6].Maggi方程是力学系统[7]各大运动方程的中间产物,对研究非完整系统的运动具有重要意义.
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Birkhoff动力学理论是Hamilton动力学的自然推广,它是包括齐次Hamilton系统和非齐次Hamilton系统的更一般动力学理论,是最一般辛结构的局部实现,只有Birkhoff系统与一般辛几何结构之间才有一一对应关系.因此 Birkhoff 系统动力学[8]的研究对于完善和深化分析力学的理论体系具有重要意义,尤其是对于非齐次 Hamilton 动力学系统的几何结构分析具有重要应用价值[9].本文针对非完整系统高阶Maggi方程,在其满足一定条件下,将其进行Birkhoff化。并通过一个算例验证上述理论分析的正确性,再分别采用Runge-Kutta方法和Birkhoff辛算法对其进行数值计算[10],并将数值结果进行比较,给出Birkhoff辛算法在长时计算时的优越性.
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1 高阶非完整系统Maggi方程的Birkhoff化
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设力学系统的位形由n个广义坐标qs(s=1,···,n)确定,系统受有g个理想m阶非完整约束[11]
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其中
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根据d’Alembert-Lagrange原理可以导出Maggi形式为:
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式中Qσ为广义力,T为系统动能.
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令
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则方程(2)有形式
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当m=2时,方程(1)是二阶非完整的. 如果不含,则方程(4)对是线性的,否则是非线性的.由式(4)可以解得
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约束对初始条件的限制为:
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当m>2时,依赖于的形式,方程(4)的阶可由2ε到mε.如果广义坐标对时间t的高阶导数是l(0≤l≤m),那么将方程(4)对t求(m-2)次导数(l≤2)或(m-l)次导数(l≥2),其阶将变成mε,由所得方程可以解得[12]
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约束对初始条件的限制为:
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将式(7)化为标准一阶形式,令
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则式(7)可以写成形式
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其中
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为将式(10)表为Birkhoff形式,其阶必为偶数[9],即mn=2N,如果mn为奇数2N-1,可增加一个方程
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使其成为偶阶.从而,要使高阶非完整系统的Maggi方程可表示成Birkhoff形式
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即要求满足
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设式(10)的2n个第一积分Iμ(t,a)彼此无关,即
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根据Hojman方法,则式(14)的Birkhoff函数组Rμ由下式确定
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Birkhoff量B为:
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其中Gα需满足条件
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2 Maggi方程的广义辛差分格式
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根据Birkhoff系统的对称性,一个协变的非自治的一阶方程在流形R×T*R2n的某一星形区域上是对称的充要条件是,它具有Birkhoff形式,即
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其中
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假定方程组(20)的一种离散可以记为:
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代表在第i点的离散,此离散决定一个离散的相流zi+1=Φ(zi,ti).
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式(22)称为式(20)的一个离散格式,如果它决定的格式Φ保持离散的K(z,t)辛格式,即
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假设Kμν,Dμ由式(17),式(18)和式(21)确定.此时根据秦孟兆,苏红玲等人的方法尝试构造此方程的广义辛算法.存在一个含有t参数的梯度映射=f(ω,t,t0),并可以得到
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以及
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其中ω,,α1,α2,Aα,Cα由R4n上到自身的可逆映射及其映射的Jacobi矩阵得到.
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此映射为:
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式(26)的Jacobi矩阵为:
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映射α要满足
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其中
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当K与z无关时,根据式(27)和式(28)可以得到
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且需满足下面的截面条件
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设Bα=Cα=0,则式(29)可成
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设,考虑到K(t)为反对称矩阵,则k2=-kT3,并且k1,k4两个子矩阵也为反对称矩阵.
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由式(30)可以得到
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由于K(t)已经被式(17)和式(21)确定,可以求出Aα.同理可得Dα.因此ω,,α1,α2,Bα,Cα都能给出.
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生成函数φ(ω,t,t0)=α(t,t0),可以构造广义Birkhoff辛差分格式.当步长τ>0足够小的时候,取
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那么就定义了一个有m阶精度的K(z,t)辛离散格式,使得
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3 算例
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假设某一力学系统的位形由2个广义坐标q1,q2确定,其系统动能为
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且该系统受到1个2阶非完整约束:
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为了计算简便,取广义力Q1=0,Q2=4,则由式(2)给出该系统的Maggi方程为:
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显然式(36)有解:
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由此可以构造Birkhoff函数Rμ,B如下[11]:
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从而将该系统的Maggi方程可以Birkhoff化:
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结合式(24)和式(25),我们可以确定生成函数φ(ω,t,t0),之后采用上述的Birkhoff广义辛算法式(32),得到此 Birkhoff 系统的二阶K(z,t)离散格式[11-13].
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图1 二阶Runge-Kutta算法相对误差
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Fig.1 Relative error of second order Runge-Kutta algorithm
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对该题采用二阶K(z,t)算法和二阶Runge-Kutta算法进行计算.在计算过程中,先取如下初值:q1=1,C1=C2=1,取步长τ=0.01.并通过比较两种数值方法计算所得数值解和解析解q1=1-arctan(t)之间的相对误差来说明两种数值方法的差别.
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图2 Birkhoff辛算法相对误差
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Fig.2 Relative error of Birkhoff symplectic algorithm
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对比图1和图2可以看出,Runge-Kutta方法在长期跟踪后与解析解有着大幅度的相对误差,而Birkhoff辛算法则相对误差非常的小.因此,Birkhoff辛算法结果更加精确.
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4 结论
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本文对一定条件下的非完整系统的高阶Maggi方程(2)先进行了Birkhoff化,得到广义Birkhoff方程(13),并针对该方程,应用Birkhoff广义辛差分格式与传统Runge-Kutta算法分别进行计算,比较两种算法,最后得出Birkhoff广义辛差分算法在求解非完整系统高阶Maggi方程中更加优越.
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参考文献
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摘要
针对非完整系统的高阶Maggi方程,在满足一定的条件时,可以对其进行Birkhoff化.通过构造生成函数,利用Birkhoff广义辛算法对其进行数值仿真.仿真结果和传统的Runge-Kutta算法结果相比较,Birkhoff广义辛算法在长期跟踪后更加准确.
Abstract
For the high-order Maggi equation of nonholonomic systems, when it meets certain conditions,the Maggi equation can be transformed into a Birkhoffian system.By constructing the generating function, the system is investigated numerically using the symplectic geometric algorithm of the Birkhoffian system.Compared with the above-mentioned algorithm with the classical Runge-Kutta method, Birkhoffian symplectic scheme is very accurate in a long-term tracing.
关键词
非完整系统 ; Maggi方程 ; Birkhoff辛算法