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引言
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机械臂由于能够提高生产过程中的自动化程度、改善工作环境降低生产事故风险等优势,在航空航天[1-3]、金属冶炼[4]等领域,得到了越来越广泛的应用,这也对机械臂的性能提出了越来越高的要求,其中末端执行器及其控制策略[5,6]对机械臂的综合性能的影响尤为显著.然而,在很多连续时间的控制策略设计中,实际存在的各个传感器的采样反馈长期被忽略,对控制算法的有效性造成了影响.
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在实际应用中,由于传感器每隔一个采样周期进行采样,反馈控制系统中控制器的输出是关于时间的分段常值,所用的数据相对于系统实际的状态量存在迟滞.定性地进行分析:若系统的采样周期为0,则输出的反馈是随采样数据实时变化的,与理想的连续时间采样控制系统相同;若系统的采样频率为0,则系统的控制器不会有输出.因此,必然存在某一临界的采样周期,使得系统的运动处于临界状态.
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Habib等[7-11]讨论了采样反馈PD控制的采样周期引起的输出迟滞对线性系统稳定性的影响,并进一步研究了存在采样系统的时滞[7]、反馈系统的非线性[7-11]的情况;王在华等[12]研究了单自由度采样反馈反馈控制系统,并进一步讨论了位移信号与速度信号异步情况下的稳定性条件;王强等[13]对倒立摆施加采样PD反馈控制,将闭环系统转化为一个差分方程,并给出了考虑采样反馈情况下的最优增益.然而,当前对采样反馈混杂系统的研究大都采用线性系统作为研究对象,对多自由度系统的讨论局限于能够直接解耦的机构.
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本文以机械臂末端执行器中较常见的二连杆机构作为研究对象,建立了考虑采样反馈的动力学模型,并构造了考虑采样反馈的平衡点(即定位控制的目标位置)稳定性判据:第一节中,建立二连杆系统的动力学模型,并通过数值仿真得到采样周期造成的不同动态响应,与不考虑采样周期情况进行比较;第二节中,根据动力学方程,构造了状态量的离散映射,用于反映二连杆采样反馈反馈系统在平衡点(即目标位置)附近的动态响应;第三节,根据动态响应的离散映射,提出并验证了二连杆混杂系统稳定性的特征值判据,并通过数值仿真发现了采样周期引起的分岔现象;最后分析结果,得到结论.
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1 二连杆混杂系统的动力学模型
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考虑如下问题.如图1所示的二连杆系统,称连接底座的连杆为1号臂,另一根连杆为2号臂.两臂长度分别为l1和l2,质量分别为m1和m2,相对于各自质心的转动惯量分别为J1和J2.1号臂质心距离底座的距离为lc1,2号臂质心距离两臂连接点的距离为lc2.两臂都视为理想的刚性臂,在后续的动力学建模中不考虑杆的轴向位移与法向的柔性;两关节为理想关节,没有附加质量.对图1中的二连杆关节处施加的力矩为Q1和Q2.
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图1 二连杆系统模型示意图
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Fig.1 Sketch map of double pendulum model
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根据式(1),可以得到系统的总动能和总势能为:
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于是根据式(2)和式(3),可以得到拉格朗日量:
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根据式(4),有:
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代入第二类Lagrange方程中,经过化简,可以得到:
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其中,
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二连杆受到PD控制,目标位置为θ1d和θ2d。力矩由比例-微分控制力矩QPD和重力补偿力矩QC两部分组成,有:
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其中,和表示采样得到的角位移,和分别表示采样得到的角速度,kp1和kp2为位置增益,kd1和kd2为速度增益,θ1d和θ2d分别为两臂的目标位置.
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1.1 不考虑采样反馈的动力学模型
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若不考虑采样反馈的影响,即连续时间PD控制,则有:
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引入误差:
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则可将式(5)变为
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其中
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定义Lyapunov函数VL:
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由于和C主对角线上的元素均为0,因此有:
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于是得到:
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由于与sinθ1-sinθ1d不同号,与sinθ2-sinθ2d不同号,且Kd正定,故<0恒成立.
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可见,不考虑采样反馈,对图1所示的二连杆系统施加带重力补偿的PD控制,二连杆的运动是收敛的.
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1.2 考虑采样反馈的动力学模型
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考虑采样反馈的影响,设采样周期为τ,则t∈[nτ,(n+1)τ)(n∈N)时,式(5)中的采样信号变为:
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此时,二连杆系统的动力学方程为:
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其中
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这是一个存在非连续时变项的强耦合非线性系统,无法通过一般的处理连续时间动力系统的方式进行求解或讨论稳定性.通过Matlab进行数值仿真的结果如图2所示.二连杆系统的物理参数如表1所示,系统的控制增益如表2所示.
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可以发现,对于给定控制增益的二连杆系统,根据采样周期的变化,系统呈现出收敛于目标位置、在目标位置附近振荡、运动发散三种不同的动态响应:当采样周期较小时,在采样反馈PD控制下,二连杆系统收敛于目标位置,如图2(b)所示,与连续采样PD控制的情况类似,如图2(a)所示;当采样周期处于某一区间内时,在采样反馈PD控制下,二连杆系统会在包含目标位置的某一区间内,作有界的来回往复运动,如图2(c)所示;当采样周期较大时,二连杆系统的振荡会变得非常剧烈,呈现出发散的趋势,如图2(d)所示.
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图2 不同采样周期下二连杆系统仿真结果
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Fig.2 Simulation results of double pendulum system under different sampling time conditions
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2 动态响应的离散映射
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经过仿真验证,我们发现采样周期变化时,目标位置的线性化系统与原系统的动态响应具有类似的变化趋势,如图3所示.物理参数和控制增益如表1和表2所示.
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由原系统与线性化系统的稳态响应可知,原系统在采样周期为0.0201秒附近出现平衡点失稳现象,线性化系统在采样周期为0.02秒附近出现平衡点失稳现象.可见,目标位置的线性化系统与原系统的动态响应类似,可以使用在目标位置的线性化系统替代原系统,研究采样周期对系统动态响应的影响.
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图3 原系统与线性化系统的稳态响应
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Fig.3 Steady-state response of original system and linearized system
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我们通过构造相邻采样周期状态量之间离散映射的方式,讨论二连杆混杂系统在目标位置附近的稳定性.在平衡点(即目标位置)附近,有:
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其中
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得到线性化后的方程如下:
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令
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则可改写式(6)为:
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设M-1bKb的特征向量为(φ1,1)T和(φ2,1)T,可计算得到:
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设
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则可对动力学方程解耦:
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其中
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至此,已将两自由度解耦.设
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可得到两个独立的方程:
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在两个相邻采样时刻之间,即t∈[nτ,(n+1)τ)(n∈N)时,由式(10a)和式(10b)可得
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因此,可以得到t=(n+1)τ(n∈N)时刻的状态量:
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根据PD控制律,可得:
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又由式(8),可得到物理坐标下,系统的状态量的离散映射.经过化简,可得物理指标下,系统的状态量和控制力满足如下离散映射关系:
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W的元素见附录.
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3 稳定性分析
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从式(11)可以发现,动态响应与控制力矩的离散映射中的线性映射矩阵W,决定了二连杆混杂系统在平衡点的稳定性.W是一个常值矩阵,除了采样周期,它的元素还和目标位置附近的近似线性系统以及控制率有关.因此,采样周期对于二连杆混杂系统平衡点稳定性的影响,体现在采样周期的取值影响线性映射矩阵W的特征值是否在复平面上的单位圆内.图4展示了通过W的特征值作为稳定性判据的准确性.二连杆系统的物理参数如表1所示,系统的控制增益如表2所示.
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图4 特征值判据与仿真结果
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Fig.4 Eigenvalue criterion and simulation results
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设W阵的特征值为λi(i=1,2,3,4,5,6),I为单位阵,可得W阵的特征方程为:
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为研究六次方程根的分布,引入Mobius变换:
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对于复平面上单位圆内的点,有
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可进一步推导得到:
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图5 二连杆系统分岔图
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Fig.5 Bifurcation diagram of the double pendulum system
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图6 倍周期分岔情况稳态响应相图
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Fig.6 Steady-state response phase portraits in period-doubling bifurcation case
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可见,Mobius变换将单位圆内的点(即ρ<1的点)映射到左半平面上.因此,经过Mobius变换,离散映射的稳定性问题转化为了多项式方程根的实部符号判定问题.进而通过Routh判据,解得本例中等效线性系统的临界采样周期为0.020107秒.
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此外,通过数值仿真,我们得到了二连杆采样反馈反馈控制系统的分岔曲线.二连杆系统的物理参数如表1所示,系统的控制增益如表2所示.
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如图5所示,可以发现,随着采样周期的增加,二连杆系统出现失稳现象,临界采样周期约为0.0201秒,与线性化系统的临界采样周期极为接近.这进一步验证了将原系统等效为线性系统研究是可靠的.此外,在部分区间内,系统经由倍周期分岔产生多周期响应,对应的相图如图6所示.
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4 结论
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本文研究了含有采样反馈的二连杆系统定位控制的稳定性问题.首先,建立了考虑采样反馈的动力学模型,通过数值仿真得到采样周期变化时不同的动力学响应,在此基础上,构造了响应的离散映射,提出了二连杆混杂系统稳定性的特征值判据,最后通过数值仿真验证了判据的准确性并发现了采样周期引起的分岔现象.通过本文研究,可得出以下结论:
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(1)传感器的采样周期会影响采样反馈反馈控制系统的稳定性,若采样频率过低,平衡点会发生失稳现象;
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(2)可通过构造状态量与控制力的离散映射,判断映射稳定性的方法判断采样反馈是否造成平衡点失稳.
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附录
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W阵的元素如下:
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其中
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参考文献
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摘要
当今主流的控制方法大都基于采样反馈得到的离散的状态量从而进行控制参数设计,然而对于采样反馈本身对系统的影响鲜有研究.本文以采样比例-微分控制反馈作用下的二连杆系统为研究对象,研究了采样周期对于混杂系统稳定性的影响.首先,通过数值模拟,发现了二连杆非线性混杂系统可以通过近似线性系统进行定性表征;其次,构造了状态量的离散映射,以反映二连杆混杂系统在目标位置附近的动态响应;最后,提出了二连杆混杂系统的稳定性判据,并以数值仿真的结果验证了判据的准确性.
Abstract
The majority of common control methods focus on control parameter design based on discrete state variables obtained by digital sampling currently. In this study, the influence of sampling period on the stability of hybrid systems is studied by studying a double pendulum system controlled with digital proportional differential feedback. Firstly, through numerical simulation, it is found that the double pendulum nonlinear hybrid system can be qualitatively characterized by an approximate linearized system. The discrete mapping of state variables is then constructed to reveal the dynamic behavior of double pendulum hybrid system near the target position. Furthermore, a stability criterion of the double pendulum hybrid system is purposed. The criteria’s accuracy is verified with numerical simulation results.
Keywords
double pendulum ; hybrid system ; stability ; feedback control