引言

直升机作为能够垂直起降和空中悬停，且具有良好的低速机动性能的独特航空器，无论在军事和民用上都有着广泛的应用，尤其是在某些极端情况下的运输和救护作业，更是起到无可替代的作用.正是因为直升机的特殊优势与日渐普及，对其舒适性和安全性的要求也越来越高.直升机的振动是影响舒适性和安全性的最大因素，过大的振动不仅会影响机载人员的舒适性，危害身体健康，而且会导致直升机部件的磨损和影响系统稳定性^[1，2]，成为直升机安全飞行的巨大隐患.

直升机的振动一般分为三种^[1，3]:高频振动、中频振动和低频振动.高频振动和中频振动随着机械传动系统的发展^[4，5]，已被大幅降低，低频振动一般指与转子旋转频率相同的谐波振动，且仅由主旋翼引起，通常称为1/rev，这是对机组人员和设备疲劳影响最为严重的振动.引起1/rev振动的原因主要有两种:一种是主旋翼动力学的非对称性而固有的振动（即使是相同的桨叶也可能存在），主要是垂向1/rev振动; 另一种是桨叶的非均匀性，引起的主要是横向1/rev振动，这种不均匀性是由桨叶制造误差、使用磨损、疲劳等引起的质量差异导致^[6].

由于认识到降低1/rev振动对提高机组性能和乘客舒适度以及降低机身运行成本的重要性^[7]，人们开发了许多技术来评估振动的影响和补偿桨叶之间的差异，称之为旋翼锥体与动平衡调整.在20世纪六七十年代，多是借助相关设备进行人工调整，调整效果并不好，且对操作人员技术要求较高.20世纪80年代以来，由于计算机的发展，人们开始使用编程技术模拟减振算法，且提出一个重要概念:振动量与变距拉杆、桨叶质量、后缘调整片等调整量之间呈线性关系.然而，Howard J. Taitel等^[8]提出了使用神经网络算法搭建振动与调整量之间的非线性映射，随后R.Ferrer等^[9]提出一种基于神经网络的学习和调整技术，能够确保在尽可能多的点使得1/rev振动最小化.Shengda Wang等^[10]提出一种基于概率模型的算法，核心思想是将振动降到最低的概率最大化，选取产生可接受振动的概率最大的调整量作为最优调整量.Hyuck Ju Kwon等^[11]利用遗传算法对单个叶片的平衡参数进行求解，并与试验结果进行了对比，验证了该方法的有效性.Younghyun You等^[12，13]使用线性模型，结合遗传算法与粒子群优化算法，提出了一种求解最优调整量的混合优化算法.尽管如此，Nathan A. Miller 等^[14]比较了线性映射和使用神经网络在调整和振动响应之间创建的非线性映射，发现非线性映射与线性映射相比并没有显著改进，而且上述各类算法的调整方式均是变距拉杆、桨叶质量、后缘调整片三者结合，相比单项调整不管是理论分析还是具体实施都比较复杂.故Uwe T.P. Arnold等^[15，16]基于振动响应和调整量之间的线性假设进行了仅调整变距拉杆来减小1/rev振动的研究，并使用CH-53G直升机实验平台验证了该方法的有效性，取得了较好的效果，但是该研究并未考虑旋翼锥体，仅以1/rev振动数据为控制目标.

国内对锥体和动平衡调整的研究较少，主要根据国外进口的测量仪器，手动进行动平衡的调整^[17].2002年高亚东等^[18]提出了旋翼不平衡的诊断方法，并使用BP神经网络进行验证，初步打开了国内相关的研究; 后来，周秋峰^[19]以振动幅值为研究目标，采用遗传算法求解，取得了较为理想的效果.目前国内在工程中常用的调整技术仍是基于测量仪器的手动调整，为了将振动降低，通常需要多次飞行实验验证，整个过程费时费力，且调整并不是永久的，桨叶出现侵蚀、磨损或疲劳时，需要重新调整，据估计，直升机每年5%的飞行时间用于消除1/rev振动^[20].

鉴于此，本文提出一种通过独立桨叶调节的带有约束的旋翼主动减振技术，主要目标是降低1/rev振动，并将旋翼锥体（每片桨叶桨尖高度互差）控制在允许范围内.该技术不同于传统调整方法的是，不需要调整桨叶配重或后缘调整片，仅通过控制算法自动小幅调整变距拉杆来达到旋翼锥体调整和减振的目的.

1 桨叶动力学模型

本文研究目标为1/rev振动，根据文献^[21，22]，1/rev振动主要来源于各桨叶间的气动或质量差异，高阶谐波振动主要受旋翼尾涡和高速飞行时的失速和压缩性的影响，所以，若采用简化空气动力学假设的刚性桨叶，不会体现出高阶谐波特性，但相比考虑精确气动的弹性桨叶，也能够较好地体现出1/rev振动.故本文采用刚性桨叶建模，简化气动力，并着力于桨叶挥舞摆振扭转耦合运动，在突出1/rev振动特性的基础上简化模型，更方便后续的控制.

桨叶挥舞摆振扭转运动耦合动力学建模，主要参考文献^[21，22]，并考虑不同桨叶质量和气动差异，进一步推导出桨叶桨根力和不旋转坐标系下的旋翼桨毂力的表达式.单片桨叶构型图及挥舞铰、摆振铰简化示意图如图1所示.

1.1 桨叶气动力和气动力矩

本文采用准定常二维翼型升力理论进行气动力矩的推导，桨叶剖面气动力示意如图2所示.

不计失速和压缩性的影响，可推导挥舞方向气动力F_z、摆振方向气动力F_x和扭转方向气动力对变距轴的气动力矩M_α，分别为:

式中∶M_αc为气动力对变距轴的气动力矩; L为剖面气动升力; X_ac为气动中心与变距轴的弦向距离（在变距轴线之后为正）; $\varphi$为剖面来流角; D为剖面气动阻力.

采用小角度假设，挥舞方向气动力F_z、摆振方向气动力F_x可进行以下简化:

1.2 整片桨叶气动力对挥舞铰、摆振铰、变距轴的气动力矩

由式（1），式（4），式（5）的气动力和气力矩，沿整片桨叶积分可得:

式中∶M_β，M_ξ，M_θ分别为整片桨叶气动力对挥舞铰、摆振铰、变距铰的气动力矩; e_β，e_ξ，e_θ分别为挥舞铰、摆振铰、变距铰相对桨毂中心的外伸量; R为桨叶展向长度.

忽略预锥角、挥舞调节系数的影响，并进行无量纲化处理，将式（6）~（8）进行积分可得到整片桨叶的气动力分别对挥舞铰、摆振铰、变距铰的气动力矩解析表达式，由于表达式比较复杂，将常系数用相应符号表示，简化如下:

式中:$m_{{\beta }_1}，m_{{\beta }_2}，m_{{\beta }_3}，m_{{\beta }_4}，m_{{\xi }_1}，m_{{\xi }_2}，m_{{\xi }_3}，m_{{\xi }_4}，m_{{\xi }_5}，m_{\xi 6}，m_{{\theta }_1}，m_{{\theta }_2}，m_{{\theta }_3}，m_{{\theta }_4}$均为气动力矩公式系数; β，ξ，θ分别为挥舞角、摆振角、桨距角; ψ为桨叶旋转时的方位角.

1.3 桨叶耦合动力学模型

下面将对耦合挥舞摆振扭转运动的桨叶进行建模，对于桨叶若已知挥舞角、摆振角、扭转角及其导数就能够确定该桨叶的运动状态，所以本文以此对桨叶进行建模，下面推导单片桨叶在挥舞方向、摆振方向、扭转方向上的动力学方程.

图3中子图（a）~（c）分别为挥舞运动、摆振运动、扭转运动时桨叶的受力分析，可以看到，不同方向上都会受到惯性力F_I、离心力F_C、哥氏力F_Cor、铰链处的弹簧力矩M_S、气动力F_A、铰链处的阻尼力矩，其中挥舞方向和扭转方向忽略铰链处的阻尼力矩.在挥舞方向上，将以上各种力在挥舞铰处合成的力矩与气动力矩M_β平衡，即可得到挥舞方向上的动力学方程，同理，在摆振方向、扭转方向上分别和气动力矩M_ξ、M_θ平衡，可得到相应的动力学方程，将1.2节推导的无量纲化的气动力矩表达式代入，整理得桨叶挥舞摆振扭转耦合动力学方程组，写成矩阵形式如下:

式中∶$\mathit{x}={\left[\begin{array}{ccc}\beta & \xi & \theta \end{array}\right]}^{\mathrm{T}};{\mathit{M}}^{3\times 3}，{\mathit{C}}^{3\times 3}，{\mathit{K}}^{3\times 3}$为系数矩阵; ${\mathit{Q}}^{3\times 3}$为右端项，且${\mathit{C}}^{3\times 3}\mathrm{、}{\mathit{K}}^{3\times 3}\mathrm{、}{\mathit{Q}}^{3\times 3}$均为x的函数.

1.4 机体坐标系下的旋翼桨毂力

桨叶产生的载荷传递到桨叶的根部，形成桨根力与桨根力矩.所有桨叶的桨根力在桨毂中心汇聚合成，形成旋翼桨毂力与力矩（从旋转系变换到不旋转系）.桨毂中心的桨毂力作为直升机机体的主要激振力，引起了机体的振动.

首先，推导桨根力.桨根力是指在旋转坐标系下，单片桨叶传递给桨根的力，在桨叶与桨毂连接处合成的集中载荷.桨根力可以通过剖面惯性力、离心力和气动力积分得到.

桨根力示意图如图4所示.参考受力分析图4，桨根力按照力的方向可分为:桨根轴向力F_rA、桨根径向力F_rR、桨根侧向力F_rS、桨根挥舞方向弯矩M_rβ、桨根摆振方向弯矩M_rξ.所有N片桨叶的桨根力在机体坐标系下的桨毂中心进行叠加，合成旋翼桨毂力与力矩.则得到的桨毂力六力素表达式如下:

1）:F_T拉力（Z向）

2）:F_X阻力（X向）

3）:F_Y侧向力（Y向）

4）:M_X滚转力矩（X向）

5）:M_Y俯仰力矩（Y向）

6）:M_Z旋翼扭矩（与旋转方向相反，Z向）

式中∶N为桨叶片数; ψ_i为第i片桨叶方位角.

工程中桨毂力难以直接测量，一般测量桨毂中心的振动速度，单位ips（英寸每秒），桨毂力和振动速度有如下关系:

式中T_FV为桨毂力和振动速度之间的转换矩阵.

2 辨识算法与主动控制律设计

2.1 线性模型

著名的直升机健康与使用监控系统（IMD HUMS）认为振动和调整量（比如:桨叶配重、变距拉杆长度、桨叶后缘襟片弯曲度）存在线性关系^[23]; 后续，文献^{[15，16，24]}，将变距拉杆的调整量和1/rev振动的频域分量假设为准稳态的线性关系，并进行了实验验证，实验结果表明基于该线性关系假设的控制算法能够很好地降低1/rev振动.本文采用线性假设，并将线性模型表示如下:

式中，z为1/rev振动数据在频域下的正余弦分量; z₀为不施加任何控制的情况下z的值; u为拉杆调整量，即拉杆的伸长量; T_z为振动数据的正余弦分量和调整量u之间的转化矩阵.需要指出的是，上述模型为全局线性模型，在整个状态下线性关系是不变的，且转换矩阵T_z的值也是不变的，即认为z和u之间的线性关系是保持不变的.

2.2 辨识算法

在确定数学模型的结构形式后，通过辨识算法获取模型中的未知参数，常用的辨识算法有最小二乘法、极大似然法、梯度校正法等，以上算法均是通过最小化模型和待估参数之间的误差准则函数对参数进行估计的.鉴于本文中直升机振动数据分量和调整量之间为线性关系，辨识算法使用最小二乘法就能够满足要求，而且最小二乘法简单、收敛较快、易编程实现，在系统参数辨识中应用相当广泛.根据以上所述，再结合输入输出的关系，本文参数辨识算法选用批处理最小二乘法.

对于2.1节中的全局线性模型，转换矩阵T和无控振动值z₀均可作为未知参数，通过参数辨识算法获取.使用辨识算法估计矩阵T_z时，需要对矩阵T_z中的每个元素进行估计.批处理最小二乘法中离散型线性系统的观测方程可表示为:

式中∶Y∈R^m×1为观测向量; a∈R^n×1是待估参数; 测量噪声v∈R^m×1，为零均值白噪声; 观测矩阵B∈R^m×n; m为观测量个数; n为待估参数个数.

最小二乘估计准则要求参数的估计值，使得观测误差的二次函数最小，误差准则函数为:

由极值点条件dG/da，可以得到最小二乘估计准则下的参数估计值:

由于批处理最小二乘法是一次完成算法，需要获取全部的输入和输出数据进行辨识计算，所以本次仿真需要提前生成输入数据，代入模型计算获取相应的输出.本文使用MATLAB中的随机函数Rand生成，并称为扰动数据.

2.3 主动控制律设计

首先建立控制目标和控制量的性能指标函数，通过最小化性能指标函数获取最优的控制量，一般将性能指标函数构造为二次型函数.根据本文的控制要求，可将性能指标函数构造为:

式中:J为二次型待优化的性能函数值; z∈R^k×1为振动的谐波分量，即控制目标; u∈R^t×1为变距拉杆的位移量，即控制变量; W_z∈R^k×k为控制目标的权矩阵; W_u∈R^t×t为控制变量的权矩阵，一般权矩阵选为对角矩阵; k为振动分量个数; t为控制量个数.

可以看出式（24）中性能指标函数由两项组成，第一项是对振动输出量的控制，实现减振，第二项是对控制量的约束，可调节控制量的大小，一般不希望控制量过大，以免导致超出物理限制，引起更大的振动.

对于性能指标函数，只需要求得满足要求的u值，使得J最小化，即达到减小振动值z的目的，然而，控制目标不仅仅是减小振动，还需要调整旋翼锥体.调整旋翼锥体，即要求每片桨叶的桨尖高度需要调整在同一锥体面内，所以需要保证施加的控制量不仅能够减振，还要使桨尖高度在同一锥体面内.由变距拉杆调整量和桨尖高度的线性关系，故可以建立以下关系式:

式中∶h∈R^N×1为桨叶的桨尖高度; T_h为桨尖高度和控制量之间的转换矩阵，同样需要通过辨识算法获取; h₀∈R^N×1为桨叶在未加控制时的桨尖高度值，可使用测量值也可使用辨识算法的估计值; N为桨叶片数.

旋翼旋转过程中，每片桨叶的桨尖在同一锥体面内转化为数学描述，即每片桨叶的桨尖高度两两的互差值在一定的约束范围内，即:

式中，Δh_min，Δh_max为不同桨叶桨尖高度的两两互差值的最小限制值和最大限制值; Δh_j为N片桨叶的桨尖高度的第j个两两互差值; 组合数$C_N^2$为N片桨叶的桨尖高度两两互差值的个数，且这$C_N^2$个互差值均为控制量u的函数，可作为二次型性能指标函数的不等式约束条件.

此外，控制量u为变距拉杆的位移值，但不能移动过大的范围，因此还会有如下限制:

式中∶u_i为第i片桨叶的变距拉杆的控制位移值，u_min为变距拉杆可微调的最小位移值; u_max为变距拉杆可微调的最大位移值.

综合式（20），（24），（26），（27），可得到二次型性能指标函数及其约束:

求解上述带有不等式约束的非线性优化问题，即可获取满足要求的最优控制量.求解算法可选取比较成熟的二次规划算法，将式（28）转化为标准二次规划问题，如下:

其中，约束条件Au≤b为桨尖高度互差限制条件式（25），式（26）转化而来.

综合算法流程，可得到图5所示的控制流程图，从图5可以看出，在主动减振的同时，也将旋翼锥体和控制量范围进行了约束（约束条件①、②）.

3 控制系统Simulink模型搭建

为了适应工程应用，本文基于仿真机OP4510的建模规则，将控制算法搭建为Simulink模型，方便实现工程应用.

算法核心部分主要使用MATLAB/Simulink中的自定义模块MATLAB function实现，搭建后的模型分为三大部分:数据通信模块，数据处理模块，过程及结果显示模块，其功能如下描述:

1）数据通信模块:该模块主要进行数据的接收和前处理，即将原始数据格式转化为数据处理模块所需要的数据格式，同时将算法计算结果传输给系统，图6（a）为数据传输模块中的振动数据传输的模块结构，由于篇幅所限，其他模块不再列举;

2）数据处理模块:该模块主要是控制算法搭建的模块，其功能为通过获取的模型数据计算最优控制量，图6（b）为数据处理模块中的控制子模块.

3）过程量及结果显示模块:该模块主要显示算法计算过程中的一些用来判断程序是否运行良好的参数，以及最终的控制结果.另外，在控制算法中的一些可调参数，可以通过该模块进行在线实时调整，比如控制律中的权矩阵，同时该模块还可以在紧急情况下停止控制律的运行，避免因不可预测因素影响而出现的极端情况，图6（c）为该模块中的部分显示框，可在仿真过程中实时显示.

4 数值模拟与振动抑制效果验证

4.1 桨叶模型求解

第1节建立的是单片桨叶的桨叶动力学模型，所以要求解N片桨叶的直升机旋翼的动力学响应，需要耦合求解N片桨叶的动力学模型，但是在耦合求解之前，需要进一步对模型处理.在工程实际中，直升机飞行过程中出现1/rev振动和桨叶不平衡的原因主要是桨叶的制造误差、装配误差和在使用过程中的磨损、腐蚀、疲劳等，导致旋翼每片桨叶质量不一致、装配位置不平衡，以及外界气动环境的不均衡，从而使得旋翼在旋转过程中产生不同程度的振动，以上因素的误差越大，导致的振动可能就会越大.因此，本文根据直升机实际情况，考虑了不同桨叶的质量和气动差异，并在数值仿真中体现.

表1所示为旋翼的一些基本参数.表2和表3分别为不同桨叶的质量差异和气动差异的参数设置.在设定质量偏差时，不能将质量偏差和桨叶对旋转中心的静矩的偏差设置过大，否则计算结果可能不收敛，也不符合正常的工程实际，本文设定的具体偏差范围在表2和表3中均有列出.

需要说明的是，表2和表3中给出的偏差百分数，是相对无偏差时的标准值给出的.

如1.4节中所述，工程中一般振动数据为振动速度值，相比桨毂力和桨毂力矩更容易测量，所以存在式（19）的转换关系，现给出转换矩阵的具体数值:

${\mathit{T}}_{FV}=\left[\begin{array}{ccccc}253& 436& 1510& 1310& 564\\ 943& 458& 230& 2920& 183\\ 4.75& 261& 266& 1210& 614\end{array}\right]\times {10}^{-6}$

根据以上参数，可求解差异桨叶的旋翼动力学模型.首先，进行简单的验证性求解（均以前飞状态为例）.图7为在不同总距下，计算得到的拉力对比图.在其他参数固定的情况下，在一定范围内增大总距值，旋翼所产生的拉力也随之增大，符合旋翼基本的物理特性.

图8为桨叶特性（质量和气动条件）完全相同时计算得到的三个方向的振动幅频图，图9为采用差异桨叶的振动幅频曲线，其中横坐标为旋翼转子转速频率的倍数，如图中所标注的数据点，即为1/rev，纵坐标为1/rev频率下的振动幅值.对比图8和图9，前者并没有出现任何谐波量，后者也只有1/rev振动量，并没有显示出高阶谐波量，说明质量和气动差异产生1/rev谐波振动，与文献^[15，16]描述一致，而未产生高阶谐波是因为本文使用的是刚性桨叶模型，并简化了气动力.

图10为无控桨叶在有/无差异时，每片桨叶桨尖高度的对比图，基准桨叶为5号桨叶.从图10（a）中可以清楚地看出1-5号桨叶的桨尖高度曲线是完全重合的，这便是理想状态下的桨尖轨迹，即所有桨叶时完全一样的，但是实际工程中这是不可能的，所以图10（b）中桨叶产生差异后的桨尖高度曲线，能够明显地看出5片桨叶桨尖高度均不同程度偏离了5号基准桨叶，最大高度互差值可达到9.52mm，可见桨叶的气动、质量偏差能够引起较大的偏差.

4.2 控制结果及其验证

4.1节已经指出，本文旋翼为5片桨叶，其中5号桨叶为基准桨叶，该片桨叶不作任何控制.此外，本文使用的辨识算法是批处理最小二乘法，需要将生成的扰动数据，依次代入旋翼模型，获取相应的输入和输出数据，然后将输入输出数据代入搭建完成的Simulink模型，通过RT-LAB（OP4510配套软件）编译并加载到仿真机OP4510中实时运行，即可得到最优控制量.

为了验证算法的有效性，本文选取悬停、前飞两种状态.本文使用了20组输入输出数据进行辨识计算，并添加信噪比为10dB的白噪声，两种状态下的辨识效果分别为80%和75%（即20组误差在±10%内的占比为80%和75%）.计算得到的最优控制量如表4所示:

上述最优控制量为1-4号桨叶变距拉杆的位移值，即在变距拉杆总距的基础上进行的微小位移，而5号基准桨叶不做调整.将表4中的最优控制量代入旋翼动力学模型求解，对比无控时的振动幅值，即可验证效果.

图11所示为将最优控制量代入旋翼动力学耦合模型求解得到的桨毂中心振动速度幅频曲线.能够看出，在输入控制量后三个方向的1/rev振动幅值均有大幅度的下降，降幅均在80%以上，特别是悬停状态，最高降幅达到近90%，但是对比悬停和前飞状态的控制效果，前飞状态的控制效果比悬停时有了小幅的下降，主要是因为前飞时的气动条件要比悬停时的更为复杂，就会导致调整量和1/rev振动分量之间的线性关系变弱，也即前飞状态的辨识效果下降到了75%，但是控制效果也还是相当不错的.

图12和图13分别为悬停状态和前飞状态控制前后的1-5号桨叶的桨尖高度的对比图.首先需要指出的是，悬停时桨叶气动环境是稳定和对称的，所以每片桨叶的桨尖高度在旋转周期内均是定值，但是前飞时气动环境不是对称的，在一个周期内桨叶的气动力是不一样的，从而导致桨尖高度的变化.从表1知，设定的桨尖高度差约束范围为[-2.2，2.2]mm，因此，加控制后，无论悬停还是前飞最大桨尖高度互差值均降低到2.2mm以下，从而体现出旋翼锥体约束的有效性.

如表5所示，对比加控制和无控情况下旋翼升力和旋翼扭矩的变化，在加控制量后，升力降低了0.26%，旋翼扭矩降低了0.18%，可见加控制量对旋翼的其他力和力矩的变化非常小，不会影响直升机的正常飞行状态.

5 结论

本文基于变距拉杆和旋翼锥体、振动频域分量之间的线性关系，提出了一种带有约束的旋翼锥体和动平衡的主动调整技术，以1/rev振动为控制目标，桨尖高度互差为约束条件，可得到以下结论:

（1）选择20组输入输出数据，信噪比为10dB，在辨识效果达到80%的情况下得到最优控制量，结果证明，无论前飞还是悬停状态，均能够降低80%以上的1/rev振动幅值，且不同桨叶的桨尖高度互差也控制在约束范围以内，证明了本技术的有效性;

（2）在施加控制量后，经对比控制前后桨毂升力和扭矩的变化，变化误差均在±0.3%以内，表明本文算法能够在降低振动的同时不影响旋翼其他动力学响应;

（3）以OP4510仿真机为基础，运用辨识、控制等算法成功搭建为Simulink模型，能够实时化仿真运行，结合相应的工程仿真硬件能够方便地应用到实际工程中，证明了本文算法的可移植性.

参考文献