幂律Hamilton方程及其在非线性动力学中的应用

李媛媛; 张绍成; 花巍; 刘畅; 刘世兴; 郭永新; Li Yuanyuan; Zhang Shaocheng; Hua Wei; Liu Chang; Liu Shixing; Guo Yongxin

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幂律Hamilton方程及其在非线性动力学中的应用

[] 李媛媛 ^1,2
[] 张绍成 ³
[] 花巍 ⁴
[] 刘畅 ^1,2
[] 刘世兴 ^1,2
[] 郭永新 ^1,2

1. 辽宁大学物理学院,沈阳 110036； 2. 辽宁大学空间科学与技术研究院,沈阳 110036； 3. 辽宁大学信息化中心,沈阳 110036； 4. 沈阳师范大学物理科学与技术学院,沈阳110036

中图分类号： O316

发布日期：2022-08-23

DOI：10.6052/1672-6553-2021-045

摘要

本文对幂律Hamilton作用量应用等时变分法，得到了一种非标准形式的Hamilton方程，这类方程被称之为为幂律Hamilton方程.此方程是用来描述一类特殊动力学系统的运动方程.幂律Hamilton方程中有一个可控参数，通过调整的取值改变物体的运动或动力学系统的轨迹.算例结果表明，幂律Hamilton系统具有不同于标准Hamilton方程的特性，并对其附加特性进行了详细的讨论.

关键词

幂律Hamilton原理; 非线性动力学; 幂律Hamilton方程; 控制参数

引言

非标准动力学理论有两个分支：非标准Lagrange动力学和非标准Hamilton动力学.非标准Lagrange量（NSL）或非自然Lagrange量在Arnold的经典力学的数学方法^［

1］中首次被提到，非标准Lagrange量与以动能和势能项为特征的经典Lagrange量不同.所以应用也相当广泛，近期El-Nabulsi^{［参考文献 2
查找原文}2］通过非标准Lagrange函数在等离子体和太阳物理学中的一些应用，探索得到了磁流体动力学等离子体模型的一些特征.非标准Hamilton动力学的工作起源于Dyson对Feynman所做工作的报道，他指出Poisson括号关系对物理系统中允许的力的类型有很强的约束^{［参考文献 3
查找原文}3］.Hojman和Shepley将Feynman的工作思想进行推广拓展^{［参考文献 4
查找原文}4］.并且能够表明一组交换坐标的一致量化可以导致这些坐标中的Lagrange量，并为一阶运动方程建立了Hamilton理论^［］.非标准动力系统在描述非线性演化方程、变系数耗散动力系统、Friedmann⁃Robertson⁃Walker模式、经典相对论量子化问题等方面得到了越来越多的关注和广泛的应用^［］，等等.

Hamilton原理 $δ A = δ \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q^{i}, {\dot{q}}^{i}, t) d t = 0$ 作为物理学和力学中的一个基本原理，可以推导出物理学、力学和工程中的运动微分方程，Hamilton原理也可表示为 $δ A = δ \int_{t_{1}}^{t_{2}} [p_{i} {\dot{q}}^{i} - H (p_{i}, q^{i}, t)] d t = 0$ 的形式；其中 $L (q^{i}, {\dot{q}}^{i}, t)$ 和 $H (p_{i}, q^{i}, t)$ 是标准Lagrange量和标准Hamilton量， $q^{i}$ 是广义坐标， ${\dot{q}}^{i}$ 和 $p_{i}$ 是与广义坐标所对应的广义速度和广义动量，但是非标准Hamilton量不同于标准Hamilton量，非标准Hamilton量通常不表示为动能与势能和的形式.在基于非标准Hamilton量的非线性动力学^［

17］中，介绍了指数形式的Hamilton量，并利用等时变分的方法得到了非标准Hamilton运动方程，并研究了其在非线性动力学中的应用.之后在非标准Hamilton运动方程的基础上，有学者对非标准Hamilton函数动力学系统的Norther对称性进行了讨论，并建立了非标准Hamilton函数动力学系统的Norther定理^{［参考文献 18
查找原文}18］.El⁃Nabulsi^{［参考文献 19
查找原文}19］利用对数Lagrange函数以及对数Hamilton函数得出相应的运动方程和修正的Boltzmann方程，讨论了它们在恒星动力学中的应用，也就是说非标准Lagrange函数以及非标准形式的Hamilton函数可以应用到天文学领域中.在本文中，将选择一个幂律Hamilton作用量，讨论运动方程及其在非线性动力学和控制理论中的应用.

本文结构如下：在第1节中，利用等时变分的方法得到幂律Hamilton量的运动方程.在第2节中，给出了非标准Hamilton方程在非线性动力系统和控制问题中的应用，结论在第3节中给出.

1 幂律Hamilton方程

在本节中，将介绍幂律Hamilton原理，并且给出与幂律Hamilton量所对应的非标准Hamilton方程.假设一个动力学系统的构型由 $n$ 个广义坐标 $q^{i} (i = 1,2, \dots, n)$ 决定，其幂律Hamilton作用量为^［

20］

A = \int_{a}^{b} {[p_{i} {\dot{q}}^{i} - H (p_{i}, q^{i}, t)]}^{γ + 1} d t

（1）

其中 $(p_{i}, q^{i}, t) \to H (p_{i}, q^{i}, t)$ 是 $C^{2}$ 的函数：

q^{i}, p_{i} \in C^{1} ([a, b]; R^{n})

H (p_{i}, q^{i}, t) \in C^{2} ([a, b] \times R^{n} \times R^{n}; R)

假设，受给定边界条件 $q^{i} (a) = q_{a}^{i}, q^{i} (b) = q_{b}^{i}$ 作用函数的容许函数 $q^{i} \in C^{1} [a, b]$ 具有极值，所以根据变分原理：

δ A = \int_{a}^{b} {[p_{i} {\dot{q}}^{i} - H (p_{i}, q^{i}, t)]}^{γ + 1} d t = 0

（2）

能够得到非标准Hamilton方程.

定理1.1 如果 $q^{i} (t)$ 是方程（2）的解， $q^{i} (t)$ 满足如下的非标准Hamilton方程：

\{\begin{array}{l} {\dot{q}}^{i} = \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \\ {\dot{p}}_{i} = \frac{- \partial H}{\partial q^{i}} - \frac{γ p}{(p_{i} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} - H (p_{i}, q^{i}, t))} \\ [p_{i} \frac{d}{d t} (\frac{\partial H}{\partial p_{i}}) - \frac{\partial H}{\partial q^{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial H}{\partial t}] \end{array}

（3）

方程（3）命名为基于幂律Hamilton原理的幂律Hamilton方程（PHE）.

证明对APH采用等时变分的方法，考虑边界条件 $q^{i} (a) = q_{a}^{i}, q^{i} (b) = q_{b}^{i}$ 并取极值，可以得到方程

\{\begin{array}{l} {\dot{q}}^{i} = \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \\ {\dot{p}}_{i} = \frac{- \partial H}{\partial q^{i}} - \frac{γ p_{i}}{(p_{i} {\dot{q}}^{i} - H (p_{i}, q^{i}, t))} \\ [{\dot{p}}_{i} {\dot{q}}^{i} + p_{i} {\ddot{q}}^{i} - \frac{d H}{d t}] \end{array}

（4）

对 $H (p, q, t)$ 求全微分

\frac{d H}{d t} = \frac{\partial H}{\partial t} + \frac{\partial H}{\partial p_{i}} {\dot{p}}_{i} + \frac{\partial H}{\partial q^{i}} {\dot{q}}^{i}

（5）

将方程中的第一个表达式代入第二个表达式，可以得到.

推论1.1 当 $γ = 0$ 时，方程（3）可化简为标准Hamilton方程

\{\begin{array}{l} {\dot{q}}^{i} = \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \\ {\dot{p}}_{i} = - \frac{\partial H}{\partial q^{i}} \end{array}

（6）

推论1.2 当 $γ \neq 0$ 且Hamilton量 $H$ 不显含时间，即 $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$ ，方程（3）可以化简为

\{\begin{array}{l} {\dot{q}}^{i} = \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \\ {\dot{p}}_{i} = - \frac{\partial H}{\partial q^{i}} - \frac{γ p_{i}}{(p_{i} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} - H (p_{i}, q^{i}, t))} \\ [p_{i} \frac{d}{d t} (\frac{\partial H}{\partial p_{i}}) - \frac{\partial H}{\partial q^{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}] \end{array}

（7）

此外，如果我们定义

p_{i} \frac{d}{d t} (\frac{\partial H}{\partial p_{i}}) \equiv \frac{\partial H}{\partial q^{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}

（8）

通过计算可以得到

\frac{d}{d t} (p_{i} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}) \equiv ({\dot{p}}_{i} + \frac{\partial H}{\partial q^{i}}) \frac{\partial H}{\partial p_{i}}

如果令 $p_{i} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} = K$ ，其中 $K$ 是一个常量，则方程（7）可以化简为标准Hamilton方程（6）.

推论1.3 $γ$ 是一个可调参数，我们可以通过调节 $γ$ 来改变物体的运动轨迹，因此 $γ$ 也可叫做控制参数.

定理1.2 当 $H (p_{i}, q^{i}, t)$ ，Hamilton函数并不是一个守恒量，只有当 $γ = 0$ 或者 $p_{i} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} = K$ 时成立.

证明如果取 $H (p_{i}, q^{i}, t)$ 对时间求导，得到

\frac{d H (p_{i}, q^{i})}{d t} = \frac{\partial H (p_{i}, q^{i})}{\partial p_{i}} p_{i} + \frac{\partial H (p_{i}, q^{i})}{\partial q^{i}} q^{i}

\frac{\partial H (p_{i}, q^{i})}{\partial p_{i}} [\begin{matrix} - \frac{\partial H}{\partial q^{i}} - \frac{γ p_{i}}{(p_{i} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} - H (p_{i}, q^{i}))} \\ [p_{i} \frac{d}{d t} (\frac{\partial H}{\partial p_{i}}) - \frac{\partial H}{\partial q^{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}] \end{matrix}] + \frac{\partial H}{\partial q^{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}

\frac{γ p_{i}}{(p_{i} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} - H (p_{i}, q^{i}))} [\frac{\partial H}{\partial q^{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} - p_{i} \frac{d}{d t} (\frac{\partial H}{\partial p_{i}})]

因此只有 $γ = 0$ 或（8）式成立，即 $p_{i} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} = K$ 成立， $\frac{d H (p_{i}, q^{i})}{d t} = 0$ ， Hamilton函数 $H (p_{i}, q^{i})$ 是守恒量.

定理1.3 当 $H = H (p_{i}, t)$ ，变量 $q^{i}$ 是循环坐标，与时间相关的正则动量 $p_{i}$ 不是一个守恒量.

证明因为 $H = H (p_{i}, t)$ 不显含 $q^{i}$ ，则方程（3）可以化简为

\{\begin{array}{l} {\dot{q}}^{i} = \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \\ {\dot{p}}_{i} = \frac{- γ p_{i}}{(p_{i} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} - H (p_{i}, q^{i}, t))} \\ [p_{i} \frac{d}{d t} (\frac{\partial H}{\partial p_{i}}) - \frac{\partial H}{\partial t}] \end{array}

（9）

明显地，当 $γ = 0$ ， ${\dot{p}}_{i} = 0$ ，动量 $p_{i}$ 是守恒量；但是当 $γ \neq 0$ ，表达式 $p_{i} \frac{d}{d t} (\frac{\partial H}{\partial p_{i}}) - \frac{\partial H}{\partial t}$ 并不一直为零，因此 $p_{i}$ 不是守恒量.

为了显示幂律Hamilton方程的一些性质，我们将列举一些显含时间、不显含时间和具有循环坐标的Hamilton函数，在所有的例子中 $C$ 为积分常数.

2 幂律Hamilton方程的应用

2.1　显含时间的Hamilton函数

例1 考虑如下形式的非标准Hamilton函数

H = p q t + q

（10）

将Hamilton函数（10）代入到方程（3）中，可以得到非标准Hamilton方程

\{\begin{array}{l} \dot{q} = q t \\ \dot{p} = - (1 + γ) p t - 1 \end{array}

（11）

方程（11）的解是

\{\begin{array}{l} q = C_{1} e x p (\frac{t^{2}}{2}) \\ p = \frac{(\sqrt[]{π} e r f (\frac{t}{2} \sqrt[]{- 2 γ - 2}) - C_{2} \sqrt[]{- 2 γ - 2}) e x p (\frac{- t^{2} (1 + γ)}{2})}{\sqrt[]{- 2 γ - 2}} \end{array}

（12）

其中 $e r f (z) = \frac{2}{\sqrt[]{π}} \int_{0}^{z} e x p (- x^{2}) d x$ 是误差函数.当 $γ = 0$ ，方程（11）可以化简为

\{\begin{array}{l} \dot{q} = q t \\ \dot{p} = - p t - 1 \end{array}

（13）

得到方程（11）的解

\{\begin{array}{l} q = C_{1} e x p (\frac{t^{2}}{2}) \\ p = \frac{1}{2} (i \sqrt[]{2 π} e r f (\frac{t}{2} i \sqrt[]{2}) + 2 C_{2}) e x p (\frac{- t^{2}}{2}) \end{array}

（14）

如果假设初值条件为 $q (0) = 1, p (0) = 1$ ，图1给出了方程（13）的解随时间的变化，图2给出了根据不同的 $γ$ 取值处在 $q - p$ 平面上时方程的解（12）的运动轨迹.在图2中，可以看出对于不同的 $γ$ 取值，物体在 $q - p$ 平面上具有不同的运动轨迹.它展现了参数 $γ$ 控制这个系统的运动.

图1 当 $γ = 0$ 方程（13）的解随时间的变化

Fig.1 Variations of the solution of equation （13） with time when γ=0

图2 根据 $γ$ 的取值方程的解（12）在平 $q - p$ 面上的轨迹

Fig.2 Behavior of solutions （12） on the plane q-pwith different γ-value.

例2 如果取非标准Hamilton函数 $H = t^{- 1} (p - q)$ 并且 $t \neq 0$ ，利用方程（3）可以得到非标准Hamilton方程.

\{\begin{array}{l} \dot{q} = \frac{1}{t} \\ \dot{p} = \frac{1}{t} - \frac{γ p}{q t} + \frac{γ p}{t} \end{array}

（15）

方程（15）的解是

\{\begin{array}{l} q = l n (t) + C_{3} \\ p = e x p (\int (\frac{γ}{t} - \frac{γ}{q t}) d t) (\int \frac{1}{t} e x p (- γ \int \frac{q - 1}{q t} d t) d t + C_{4}) \end{array}

（16）

假设初始条件为 $q (1) = 1, p (1) = 1$ ，图3给出了当 $γ = 2$ 时方程（15）的解随时间的变化，图4给出了不同的 $γ$ 取值处在 $q - p$ 平面上时方程解（16）的运动轨迹.

图3 当 $γ = 2$ 时方程（15）的解随时间的变化

Fig.3 Variations of the solution of equations （15） with time when $γ = 2$

图4 根据 $γ$ 的取值方程的解（16）在 $q - p$ 平面上的轨迹

Fig.4 Behavior of solutions （16） on the plane $q - p$ with different $γ$ -value

例3 取非标准Hamilton函数 $H (p, q, t) = p s i n t + q$ ，代入到方程（3），可以得到运动方程

\{\begin{array}{l} \dot{q} = s i n t \\ \dot{p} = - 1 - \frac{γ p s i n t}{q} \end{array}

（17）

方程（17）的解析解为

\{\begin{array}{l} q = c o s t + C_{5} \\ p = e x p \int (\frac{- γ s i n t}{q}) d t (\int - e x p (γ \int \frac{s i n t}{q} d t) d t + C_{6}) \end{array}

（18）

取初始条件为 $q (0) = 1, p (0) = 0$ ，图5给出了当 $γ = 2$ 时方程（17）的解随时间的变化，图6给出了不同的 $γ$ 取值处在 $q - p$ 平面上时方程解（18）的运动轨迹.

图5 当 $γ = 1$ 时方程（17）的解随时间的变化

Fig.5 Variations of the solution of equations （17） with time when $γ = 1$

图6 根据 $γ$ 的取值方程的解（18）在 $q - p$ 平面上的轨迹

Fig.6 Behavior of solutions （18） on the plane $q - p$ with different $γ$ -value

2.2　不显含时间的Hamilton函数

例4 取非标准Hamilton函数 $H (p, q) = p q + q$ ，利用方程（7），得到Hamilton方程为

\{\begin{array}{l} \dot{q} = q \\ \dot{p} = - 1 - p - γ p \end{array}

（19）

方程（19）的解析解为，

\{\begin{array}{l} q = C_{7} e^{t} \\ p = C_{8} e^{- (γ + 1) t} - \frac{1}{γ + 1} \end{array}

（20）

当 $γ = 0$ ， $\frac{d H}{d t} = 0$ 时，Hamilton函数 $H$ 是一个守恒量.取初始条件为 $q (0) = 1, p (0) = 0$ ，令 $C_{7} = 1$ ， $C_{8} = 1 / (γ + 1)$ ，图7给出了当 $γ = 2$ 时方程（19）的解随时间的变化，图8给出了不同的 $γ$ 取值处在 $q - p$ 平面上时方程解（20）的运动轨迹.图9给出了Hamilton函数 $H$ 随 $t$ 时间的变化，可以看出当 $γ \neq 0$ 时Hamilton函数 $H$ 不是一个守恒量.

图7 当 $γ = 2$ 时方程（19）的解随时间的变化

Fig.7 Variations of the solution of equation （19） with time when $γ = 2$

图8 根据 $γ$ 的取值方程的解（20）在 $q - p$ 平面上的轨迹

Fig.8 Behavior of solutions （20） on the plane $q - p$ with different $γ$ -value

图9 当 $γ = 0 和 γ \neq 0$ 时Hamilton函数随时间的变化

Fig.9 Variations of $H$ with time when $γ = 0$ and $γ \neq 0$

例5 取非标准Hamilton函数 $H (p, q) = K l n p p + \sqrt[]{q}$ ，此函数满足条件（8）并且 $K$ 是一个常量.利用方程（6），得到的Hamilton方程为

\{\begin{array}{l} \dot{q} = \frac{K}{p} \\ \dot{p} = \frac{- 1}{2 \sqrt[]{q}} \end{array}

（21）

发现方程（21）化简为标准Hamilton方程，并且当条件（8）被满足时控制参数 $γ$ 没有出现在方程（21）中，另外，可以证明Hamilton函数 $H (p, q)$ 是一个守恒量.

2.3　不显含 $q$ 的Hamilton函数

例6 取非标准Hamilton函数 $H (p, t) = p s i n t + c o s t$ ，利用方程（9）能够得到非标准Hamilton方程

\{\begin{array}{l} \dot{q} = s i n t \\ \dot{p} = \frac{- γ p s i n t}{c o s t} \end{array}

（22）

通过计算得到方程（22）的解析解

\{\begin{array}{l} q = - c o s t + C_{9} \\ p = C_{10} c o s γ t \end{array}

（23）

通过表达，可以发现尽管Hamilton函数 $H$ 不显含 $q$ ， $p$ 也不是一个守恒量.假设初始条件为 $q (0) = - 1, p (0) = 1$ ，图10给出了当 $γ = 0.2$ 时方程（22）的解随时间的变化，图11给出了不同的 $γ$ 取值处在 $q - p$ 平面上时方程解（23）的运动轨迹.

图10 当 $γ = 0.2$ 时方程（22）的解随时间的变化

Fig.10 Variations of the solution of equation （22） with time when

γ = 0.2

图11 根据 $γ$ 的取值方程的解（23）在 $q - p$ 平面上的轨迹

Fig.11 Behavior of solutions （23） on the plane $q - p$ with different $γ$ -value

例7 取非标准Hamilton函数 $H (p, q, t) = p c o s t$ ，代入方程（9），得到

\{\begin{array}{l} \dot{q} = c o s t \\ \dot{p} = 0 \end{array}

（24）

方程（24）有如下解析解

\{\begin{array}{l} q = s i n t + C_{11} \\ p = C_{12} \end{array}

（25）

明显地， $q$ 的解根据正弦定理变化， $p$ 是守恒量.

例8 取非标准Hamilton函数 $H (p) = K l n p + C$ ，通过方程（9），得到非标准Hamilton方程为

\{\begin{matrix} \dot{q} = \frac{K}{p} \\ \dot{p} = 0 \end{matrix}

（26）

方程（26）有如下解析解

\{\begin{array}{l} q = \frac{2 K t}{C_{14}} + C_{13} \\ p = C_{14} \end{array}

（27）

所以 $q$ 的解随时间 $t$ 线性变化， $p$ 是一个守恒量. 同时，因为 $\frac{d H}{d t} = \frac{\partial H}{\partial p} \dot{p} + \frac{\partial H}{\partial q} \dot{q} = 0$ ，所以Hamilton函数也是一个守恒量.

3 结论

在本文中，通过使用等时变分的方法，成功得到了用于描述一种以幂律Hamilton函数为特征的特殊动力学系统运动方程，称之为幂律Hamilton方程.在新的方程中，有一个可调参数 $γ$ 称为控制参数，可以通过调整 $γ$ 来改变物体运动或动力学系统轨迹.幂律Hamilton方程在本质上完全不同于标准Hamilton方程，但是在某些特定条件下该方程可以简化为标准Hamilton方程.特别是对于耗散动力系统、非线性演化方程、控制问题等，非标准Hamilton方程显然可以将其简化，以简单的方法来解决复杂的动力学问题和可控问题.

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幂律Hamilton方程及其在非线性动力学中的应用

摘要

关键词

引言

1 幂律Hamilton方程