空间可展薄膜平面结构的动力学建模及在轨参数辨识研究

张华; 刘汉武; 蔡国平; 彭福军; Zhang Hua; Liu Hanwu; Cai Guoping; Peng Fujun

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空间可展薄膜平面结构的动力学建模及在轨参数辨识研究

[] 张华 ^1,2
[] 刘汉武 ^1,2
[] 蔡国平 ³
[] 彭福军 ^1,2

1. 上海宇航系统工程研究所,上海 201109； 2. 上海市空间飞行器机构重点实验室,上海 201108； 3. 上海交通大学工程力学系,海洋工程国家重点实验室,上海200240

中图分类号： O326

发布日期：2022-08-23

DOI：10.6052/1672-6553-2021-037

摘要

大尺度薄膜结构平面天线由于轻质、超柔特点，其动力学性能参数较为复杂.为掌握其在轨结构动力学特性，基于温度-结构预应力导入方法建立了大型空间可展薄膜结构的动力学模型，分析了可展薄膜结构的动力学特性.通过建立的动力学模型，采用特征系统实现算法（ERA）对薄膜结构平面天线的模态参数在轨辨识进行研究.辨识结果与仿真分析结果对比表明，ERA方法可以有效辨识薄膜结构平面天线的低阶固有模态，为其工程化实施奠定了理论研究基础.

关键词

薄膜结构; 平面天线; 动力学仿真; 参数辨识

引言

薄膜与桁架的组合结构^［

1，2］作为空间可展结构的一种重要结构形式，具有质量轻、尺寸大、构型灵活多样、便于调节等优点，在航天器太阳翼、天线等柔性附件方面有广泛应用^{［参考文献 3
查找原文}3，4］，例如DLR和ESA研制的P波段SAR天线尺寸达到18m×4.3m，美国DARPA研制的ISAT超大型薄膜天线展开尺度达到100m并于2010年通过飞行演示验证.由于采用薄膜预张力与桁架组合装配设计，其动力学性能极为复杂，而动力学性能参数对其在轨稳定度的控制具有重要影响^{［参考文献 5
查找原文}5］，获取其动力学性能参数为航天器控制系统提供输入变得至关重要.由于地面重力、空气阻尼对薄膜结构的影响，采用地面试验测试获取薄膜结构的动力学性能参数变得极为困难甚至不可行，因此利用动力学开展建模分析、模态参数在轨辨识研究，通过航天器空间真实响应数据采用一定的参数辨识技术来获得其较为真实的模态参数，以评估薄膜结构的动力学性能，成为解决该问题的有效途径之一.已有学者对可展薄膜结构开展了相关动力学分析研究：Hu^{［参考文献 6
查找原文}6］基于整体薄膜结构模型研究发现空气对预应力薄膜结构动态特性有着显著影响；Liu等^{［参考文献 7
查找原文}7］研究了几何参数对薄膜基频的影响，薄膜结构模态随花边圆心角增大而提高.由于薄膜结构平面超柔性、大尺度、弱阻尼特点，整体结构的固有模态低且密集，给参数辩识带来很大困难.国外相关机构在模态在轨辨识方面做过较多实验验证，如美国NASA利用反作用轮激励、陀螺输出，在频域内获取哈勃望远镜在轨模态参数^{［参考文献 8
查找原文}8］；国际空间站上曾经开展了5次模态参数的在轨辨识试验^{［参考文献 9
查找原文}9］；日本NASDA于1995-1996年对工程试验卫星-6（ETS-VI）进行了挠性参数的在轨辨识工作^{［参考文献 10
查找原文}10］，并于2006年对ETS-Ⅷ采用时域法再次进行模态参数辨识；俄罗斯和平号空间站总共进行了一年时间的在轨模态试验^{［参考文献 11
查找原文}11］.然而，上述相关研究多集中在太阳电池翼方面，对于含预紧张力的薄膜结构平面天线这类航天器柔性附件少有报道.

本文对薄膜结构平面天线开展动力学建模及分析，以某航天器实际在轨飞行激励数据作为激励，施加于所建立的动力学模型以获取薄膜结构的多点响应，基于输入输出数据，采用特征系统实现方法（ERA）辨识薄膜结构的动力学参数.通过辨识结果与仿真结果对比分析，结果表明ERA方法可有效地辨识出薄膜结构平面天线的低阶固有频率和模态，为未来工程化应用奠定基础.

1 几何描述

1.1　结构组成

天线结构模型主要包括：薄膜阵面、支撑桁架、拉索、张拉机构及形状控制机构等，构型示意图见图1所示.薄膜阵面边沿设计为悬链拉索，可展开支撑桁架包括豆荚杆、豆荚杆展开机构、张力撑杆和端杆.豆荚杆为应变能柔性杆，在薄膜结构展开状态下满足一定的刚度、屈曲载荷要求，其截面呈“Ω”形状，它与端杆固连组成薄膜结构的支撑框架，豆荚杆收拢时处于压扁卷曲状态，展开时则依靠自身弹性应变能从扁平状态恢复为自然管形状态.张力撑杆通过搭接装置套在两组平行的豆荚杆上，可相对豆荚杆平移滑动，其上固定有张拉机构和形状调节机构，每一个张紧点布置一根张力撑杆，相比豆荚杆而言，张力撑杆具有较大的抗拉压、弯曲刚度，用于实现阵面张紧和面外位置调整.薄膜阵面是天线的核心结构部件，展开后由于张紧点的拉力作用，其边缘为抛物线悬索形态，纵向13跨，横向4跨.薄膜阵面为柔性材料，抗弯刚度小，不能受压，依靠张拉机构可以改变膜面预应力水平，从而改变膜面刚度.膜面张紧后，张力撑杆承受张拉机构的反作用力，确保预应力不传递至豆荚杆.

图1 薄膜可展结构构型示意图

Fig.1 Membrane structure frame figure

1.2　材料属性

豆荚杆采用碳纤维/环氧复合材料，截面形状及铺层设计见图2所示，单层厚度0.04mm.端杆及张力撑杆为铝合金材料，其中端杆为矩形截面，张力撑杆为管形截面.薄膜阵面采用玻纤/PI复合膜，厚度为0.5mm.拉索为Φ1mm圆截面Kevlar纤维，设计张紧力10~60N.

图2 应变能支撑桁架截面尺寸及铺层

Fig. 2 Truss's section dimension and material ply

2 动力学模型及分析结果

2.1　平衡方程

通过虚位移原理导出的薄膜结构有限元基本方程^［

12］为：

{}_{t}^{t} K_{L} {}_{t}U + {}_{t}^{t}K K_{N} {}_{t}U = {}_{t}^{t + Δ t}R + {}_{t}^{t}F

（1）

式中： ${}_{t}^{t} K_{L}$ 为线性刚度矩阵； ${}_{t}^{t} K_{N}$ 为非线性刚度矩阵； ${}_{t} U$ 为 $t$ 时刻单元节点位移增量矩阵； ${}_{t}^{t + Δ t} R$ 为 $t + Δ t$ 时刻的单元等效节点荷载向量； ${}_{t}^{t} F$ 为 $t$ 时刻的单元等效节点力向量.各矩阵分别表示为：

{}_{t}^{t} {K_{L}}^{e} = {\int_{V} {}_{t}^{t} B}^{T} {}^{t}D {}_{t}^{t}B d^{t} V

（2）

{}_{t}^{t} {K_{N}}^{e} = \int_{V} {}_{t}^{t} G^{T} {}_{t}^{t}M {}_{t}^{t}G d^{t} V

（3）

{}_{t}^{t + Δ t} R^{e} = \int_{V} N^{T} {}_{t}^{t + Δ t}f d^{t} V + \int_{S} N^{T} {}_{t}^{t + Δ t}s d^{t} S - N^{T} {}_{t}^{t + Δ t}q

（4）

{}_{t}^{t} F^{e} = \int_{V} {}_{t}^{t} B^{T} {}^{t}τ d^{t} V

（5）

式中： ${}_{t}^{t} B$ 为线性应变位移转换矩阵； ${}^{t} D$ 是材料本构关系矩阵； ${}_{t}^{t + Δ t} f$ ， ${}_{t}^{t + Δ t} s$ ， ${}_{t}^{t + Δ t} q$ 分别为 $t + Δ t$ 刻作用在单元上的体力、面力和作用在结点上的集中力； ${}^{t} τ$ ， ${}_{t}^{t} M$ 分别为 $t$ 时刻的单元柯西应力向量和相应的柯西应力矩阵； $N$ 为单元形函数矩阵.

模拟薄膜预张力可通过在相应结构单元上施加温度梯度载荷来实现.结构由于温度的变化，其应变为：

ε_{0} = α (T_{t} - T_{0})

（6）

其中， $α$ 为材料的热膨胀系数； $T_{t}$ 为结构的稳态或瞬态温度场； $T_{0}$ 为结构的初始温度场.

由温度应变引起的结构温度荷载向量可表达为：

{}_{t}^{t} F_{ε_{0}} = \int_{V} {}_{t}^{t} B^{T} {}^{t}D {}_{t}ε ε_{0} d^{t} V

（7）

薄膜结构在温度作用下的有限元方程需在右端包含一项以温度应变形式表达的温度荷载：

{}_{t}^{t} K_{L} {}_{t}U + {}_{t}^{t}K K_{N} {}_{t}U = {}_{t}^{t + Δ t}R + {}_{t}^{t}F F_{ε} + {}_{t}^{t}F

（8）

因此，给定参考温度 $T_{0}$ ，同时施加外荷载温度 $T_{t}$ ，即可实现初始预应力的导入，同时在支撑桁架、薄膜结构、张拉机构等共同作用下保持初始状态平衡.

2.2　边界条件

张力撑杆、展开机构、端杆等可展薄膜结构各个零件之间的连接，采用耦合自由度的方式实现位移边界协调.薄膜阵面与拉索、张力撑杆之间的采用梁索单元实现连接，以便施加预紧载荷，实现预紧力边界可连续.薄膜阵面本体采用膜单元，承受单向拉伸及面内剪切.有限元模型见图3所示.

图3 薄膜可展结构有限元模型及张紧点标示图

Fig. 3 Membrane structure finite element model and pre-force point

薄膜阵面结构各位置张紧力见表 2，三个方向的张紧力并不完全一致.依据式（6）~，为模拟张紧力大小，给定参考温度0℃，同时依据不同位置方向的张紧力大小及材料线膨胀系数，施加不同的外载温度.

2.3　分析结果

由表1材料特性及可计算出温度载荷，将该温度载荷施加于有限元模型即可实现膜面张紧，图4为每个张紧点的张紧拉力，与表2中的数据吻合，说明模型中的温度等效合理有效.根据薄膜结构固支约束边界及张紧拉力，可计算出薄膜结构的主要频率及振型（前6阶见图5）.系统前80阶固有频率均小于1Hz，且大多为薄膜阵面的局部模态，属典型低频、密集结构.

图4 薄膜结构张紧拉力（N）

Fig. 4 Membrane structure pre-force（N）

（ⅴ） the fifth

（ⅵ） the sixth

图 5 薄膜结构前六阶频率及振型

Fig. 5 Membrane structure vibration modes

（ⅰ） the first （ⅱ） the second

（ⅲ） the third （ⅳ） the forth

3 参数辨识算法

本文基于特征系统实现算法（ERA）进行模态参数辨识，ERA是一种时域模态参数识别算法，利用系统的脉冲响应数据构造Hankel分块矩阵，并对其进行奇异值分解，从而求得系统的低维模型实现.将薄膜结构平面天线系统离散为含差分形式的状态方程^［

13，14］：

\{\begin{array}{l} x (k + 1) = A x (k) + B u (k) \\ y (k) = C x (k) + D u (k) \end{array}

（9）

其中， $x \in R^{n \times 1}$ 为状态向量， $u \in R^{d \times 1}$ 为输入向量， $d$ 为输入通道数， $y \in R^{q \times 1}$ 为输出向量， $q$ 为输出通道数. $A, B, C, D$ 分别为状态矩阵、系统输入矩阵、状态观测矩阵及输入观测矩阵.构造如下 $(s + 1) \times (l + 1)$ 块Hankel分块矩阵：

H (τ) = [\begin{matrix} Y_{τ} & Y_{τ + 1} & \dots & Y_{τ + l} \\ Y_{τ + 1} & Y_{τ + 2} & \dots & Y_{τ + l} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ Y_{τ + s} & Y_{τ + s + 1} & \dots & Y_{τ + s + l} \end{matrix}]

（10）

其中， $Y = [\begin{matrix} y (0) & y (1) & y (2) & \dots & y (d - 1) \end{matrix}]$ 为系统输出向量构成的 $q \times d$ 维矩阵， $d$ 和 $q$ 越大，ERA算法的精度越高，但运算规模也随之增大.将 $H (τ)$ 写成如下形式：

H (τ) = {\bar{V}}_{s} A^{τ} {\bar{W}}_{l}

（11）

其中： ${\bar{V}}_{s} = {[\begin{matrix} C^{T} & {(C A)}^{T} & (C A^{2})^{T} & \dots & (C A^{s})^{T} \end{matrix}]}^{T}$ ； ${\bar{W}}_{l} = [\begin{matrix} B & A B & A^{2} B & L & A^{l} B \end{matrix}]$ ， ${\bar{V}}_{s}$ 、 ${\bar{W}}_{l}$ 分别为系统的可观和可控矩阵.对 $H (0)$ 进行奇异特征值分解：

H (0) = L Λ R^{T}

（12）

其中 $L$ 、 $R$ 为酉阵， $Λ$ 为奇异值对角阵，即：

Λ = d i a g (λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{r}, λ_{r + 1}, \dots)

（13）

其中 $λ_{1} \geq λ_{2} \geq \dots \geq λ_{r} \geq λ_{r + 1} \geq \dots \geq 0$ .

设定阀值 $ε$ ，由可确定系统的最小实现阶数 $n^{'}$ .

\frac{λ_{n^{'}}}{λ_{1}} > ε, \frac{λ_{n^{'} + 1}}{λ_{1}} \leq ε

（14）

系统的最小实现 $(A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'})$ 可以确定如下：

A^{'} = Λ_{_{n^{'}}}^{- 1 / 2} L_{_{n^{'}}}^{T} H (1) R_{_{n^{'}}} Λ_{_{n^{'}}}^{- 1 / 2}

（15）

B^{'} = Λ_{_{n^{'}}}^{- 1 / 2} R_{_{n^{'}}}^{T} E_{d}^{T}

（16）

C^{'} = E_{q} L_{_{n^{'}}} Λ_{_{n^{'}}}^{1 / 2}

（17）

D^{'} = Y (0)

（18）

其中： $E_{d} = [\begin{matrix} I_{d} & 0_{d} & \dots & 0_{d} \end{matrix}]$ ，E_q=［I_q O_q ⋯ 0_q］.设矩阵 $A^{'}$ 的特征值矩阵为 $Z$ ，特征向量为 $ψ$ ，则有：

ψ^{- 1} A^{'} ψ = Z

，

Z = d i a g (z_{1}, z_{2}, \dots, z_{r})

（19）

依据振动理论可解得：

z_{i} = e x p (- ξ_{i} ω_{i} Δ t \pm j ω_{i} \sqrt[]{1 - ξ_{i}^{2}} Δ t)

，

j = \sqrt[]{- 1}

（20）

其中， $ω_{i}$ 和 $ξ_{i}$ 分别为动力学系统的无阻尼固有频率和阻尼比， $Δ t$ 为采样周期.令：

λ_{i} = l n z_{i} / Δ t

（21）

由此可解出系统的模态参数：

ω_{i} = \sqrt[]{R e (λ_{i})^{2} + I m (λ_{i})^{2}}

（22）

ξ_{i} = a b s (z_{i}^{R e}) / ω_{i}

（23）

模态矩阵（振型矩阵） $φ$ 可表示如下：

φ = C^{'} ψ

（24）

上述辨识过程的前提假设是输入为脉冲响应数据，而航天器在轨运行时处于工作状态，脉冲响应很难测量，这使得参数辨识受到很大局限，由此可引入观测器/Kalman滤波辨识算法（OKID）.将改写为：

\{\begin{array}{l} x (k + 1) = \bar{A} x (k) + \bar{B} u (k) \\ y (k) = C x (k) + D u (k) \end{array}

（25）

其中

\bar{A} = A + M C

，

\bar{B} = [B, - M]

，

v (k) = {[\begin{matrix} u (k) & y (k) \end{matrix}]}^{T}

其中， $M$ 为观测器矩阵，在上述空间表达形式下，利用输入输出数据计算观测器Markov参数，再根据观测器Markov参数计算系统Markov参数，最后在利用ERA方法即可辨识出系统的动力学参数.

4 数值仿真及辨识

在对可展薄膜平面结构进行动力学参数辨识之前，先以一个经过地面试验验证，且经动力学模型修正的太阳电池翼结构为对象开展固有频率的辨识仿真，以此验证ERA方法的有效性.

4.1　太阳电池翼结构参数辨识

太阳电池翼尺寸长5.4m，宽1.17m，总质量22.6kg.太阳翼基板为铝蜂窝结构，面板为碳纤维网格结构，基板之间采用铰链锁定机构连接，以此保证太阳翼在轨平面度和刚度要求.在太阳翼基板的每个角点及中轴线布置响应采集点共计18个，采样频率为1000Hz，与星本体连接点施加外载荷激励.表3中结果分别为采用有限元（经地面试验修正后）和ERA方法所得到的太阳翼前6阶固有频率.可以看出，ERA方法辨识得到的太阳翼前6阶固有频率与有限元分析结果几乎完全吻合.

图6 太阳翼有限元模型及标识

Fig.6 Sampling points on solar cell structure

4.2　可展薄膜平面结构参数辨识

利用第2节建立的薄膜结构平面天线有限元模型，在星体连接点施加某航天器实际飞行时产生的加速度激励（见图7）作为输入数据，通过瞬态非线性动力学分析，在薄膜阵面和支撑桁架上取图8所示共60个点的加速度响应作为输出数据.

图 7 加速度激励输入曲线

Fig. 7 Variations of acceleration input with respect to time

图8 薄膜结构平面天线采样点示意图

Fig. 8 Sampling points on the membrane structure

辨识过程中数据采样时间间隔 $Δ t$ 取0.001s，采样时间段为21s-24s，Hankel矩阵的行块数取120，构造的Hankel矩阵的维数是2880×2880.由于信号噪声和结构非线性等因素的影响，对Hankel进行奇异值分解时存在系统定阶困难，需人为给定系统阶次，即 $A^{'}$ 的阶次，为避免模态遗漏，需对系统阶次进行估计，这样就会导致虚假模态的出现，本文采用模态相位共线性方法（Modal Phase Colinearity， MPC）进行虚假模态剔除.表8为辨识结果，可以看出，薄膜天线结构前5阶固有频率均小于0.5Hz，为低频密集结构，辨识结果与FEA分析的结果吻合较好.

5 结论

本文对空间可展薄膜平面结构的动力学建模及固有频率在轨参数辨识进行了研究，研究结果表明，ERA方法可以有效辨识出薄膜平面结构的低阶频率，尤其是对结构系统占主要能量振动的前二阶模态，辨识结果与有限元分析的比对误差不到5%，可有效为后续开展工程化实施和在轨振动控制奠定基础.

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