摘要
详细分析了在磁通变量和电场变量共同作用下五维Hindmarsh-Rose(HR)神经元模型的全局分岔行为.通过数值仿真的方法,做出该神经元系统的双参数分岔图、峰峰间期(ISI)分岔图和最大Lyapunov指数图,发现该系统在双参数平面上具有倍周期分岔、逆倍周期分岔、加周期分岔等分岔模式以及呈“锯齿状”的混沌结构.此外,基于Lyapunov稳定性理论以及自适应同步的方法,以混沌态时的系统为驱动系统,构建对应的响应系统,选择合适的控制器,实现了驱动系统与响应系统的同步,并辨识出未知参数.数值模拟证明了此方法的有效性和可行性.
神经元是神经系统中最基本的结构和功能单位,通过复杂的放电活动,承担着接受刺激、传递信息等重要职责,且神经元的放电活动具有复杂的非线性动力学特
研究表明,在很多神经元模型的放电活动中也会出现混沌现象,因此研究神经元模型里的混沌控制与同步是十分有必要的.文献[
受上述研究启发,本文考虑到磁场以及外电场两方面都对神经元产生影响,同时引入磁通变量和电场变量,构建了一个改进的五维HR神经元系统.运用Matlab软件做出该系统的双参数分岔图,可以看到该系统具有丰富的放电行为及分岔现象,然后对双参数分岔图里的一条黑线做峰峰间期(ISI)分岔图以及最大Lyapunov指数图,发现该系统具有倍周期分岔、逆倍周期分岔、加周期分岔等分岔模式以及呈“锯齿状”的混沌结构.考虑到放电过程中系统可能多个参数同时发生变化,取定一组参数,使系统为混沌态,以其中五个参数为未知参数,利用Lyapunov稳定性原理和自适应同步方法,选择合适的控制器,使驱动系统和响应系统达成同步,同时辨识出未知参数的值.
基于三维Hindmarsh-Rose(HR)神经元模型,文献[
(1) |
其中,五个状态变量分别表示膜电位、快电流、自适应慢电流、模拟细胞周围磁场的磁通变量以及外电场,为外界的刺激电流,是重要的动力学参数,是磁场产生的电磁感应电流,表达式为,和是与系统相关的确定参数,也是确定系数,为磁通反馈增益.因为快电流对外电场的变化非常敏感,所以对变量施加一项来表示外电场对变量的影响.在本文中,各参数参考值取为:,,,,,,,,,,,,,,.
神经元模型往往会受到外界刺激,从而使神经元的放电行为发生变化.系统(1)中膜电压的放电行为与系统参数取值有关,其余各参数取参考值时,系统膜电压随外界刺激电流变化的峰峰间期(ISI)分岔图如

图1 关于参数的ISI分岔图
Fig.1 The bifurcation diagram of ISI with respect to parameter I
取和这两个参数,对系统(1)做双参数分岔分析,其余参数取参考值.系统(1)的双参数分岔结构图如

图2 参数和的双参数分岔图
Fig.2 The bifurcation diagram with two parameters I and r
对
当以参数为变量时,其余参数取参考值.沿

(a) 参数I和r的ISI分岔图
(a) The ISI bifurcation diagram of parameters I and r

(b) 对应(a)的最大Lyapunov指数图
(b) The maximum Lyapunov exponent corresponding to (a)
图3 系统(1)的ISI分岔图及最大Lyapunov指数图
Fig. 3 The bifurcation diagram of ISI and maximum Lyapunov exponent diagram of system (1)
根据上述分析,外界刺激可以导致神经元的放电活动发生变化,系统动力学参数可能也会随之改变.这样在多个系统参数发生变化时,如何辨识出变化后的未知参数就有着十分重要的意义.
从
以混沌态系统作为驱动系统
(2) |
对应受控制的响应系统为
(3) |
响应系统(3)中的为控制器,控制器的目的是使两系统达到同步,控制器的个数要依据具体的系统来确定.从成本最小化角度来说,保证同步中暂态过程不过长的同时,控制器形式要尽可能简单且个数尽可能少.驱动系统(2)和响应系统(3)之间对应变量与参数的误差系统为
(4) |
基于自适应同步方法以及Lyapunov稳定性理论,只要保证误差系统的Lyapunov函数正定,且Lyapunov函数对时间的导数负定,那么误差系统(4)渐进稳定,从而驱动系统和响应系统达成同步.在这里构建正定的Lyapunov函数为
(5) |
那么Lyapunov函数对时间的导数为
(6) |
可得误差系统(4)中状态变量的误差具体为
(7) |
将(7)式代入(6)式,整理后得
(8) |
为了使Lyapunov函数对时间的导数达到负定,利用待定系数法,令(8)式中除了负定项外的项全为0,只保留负定项.此时有
(9) |
为使(9)式成立,参数所需满足的条件如下
(10) |
因为驱动系统里的未知参数为常数,它们的导数为0,即,那么响应系统里的参数估计值为
(11) |
同时为了使(9)式成立,还需有
(12) |
如此可确定控制器的表达式,本着成本最小化的角度出发,控制器个数选择为3个,数学表达式为
(13) |
此时Lyapunov函数对时间的导数负定,系统(2)和系统(3)达成混沌同步,下面进行具体的数值仿真来进行验证.
在具体的数值仿真中,令驱动系统中状态变量初值取,响应系统状态变量初值取,未知参数取为,此时驱动系统为混沌态,将响应系统初始参数取为.通过Matlab软件进行数值模拟,得到响应系统(3)的参数辨识曲线以及同步误差随时间的变化如

图4 系统(3)的参数辨识曲线
Fig.4 Parameter identification curve of system (3)

(a) 变量的同步误差图
(a) Diagram of synchronization error for variable

(b) 变量的同步误差图
(b) Diagram of synchronization error for variable

(c) 变量的同步误差图
(c) Diagram of synchronization error for variable

(d) 变量的同步误差图
(d) Diagram of synchronization error for variable

(e) 变量的同步误差图
(e) Diagram of synchronization error for variable
图5 系统(2)与系统(3)同步误差图
Fig.5 Synchronization error diagram of system (2) and system (3)
可以看到,基于Lyapunov稳定性理论和自适应同步方法辨识出了五维HR神经元系统的未知参数值,且从仿真结果可以看到同步误差很快趋近于零,辨识结果也较为准确,说明基于Lyapunov稳定性理论和自适应同步方法的参数辨识是成功的.
本文首先基于三维HR神经元模型,通过引入磁通变量和电场变量,构建了一个改进的五维神经元系统(1);其次,利用Matlab软件进行双参数分岔分析, 进一步发现其具有丰富且复杂的分岔模式.如沿着
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