网刊加载中。。。

使用Chrome浏览器效果最佳,继续浏览,你可能不会看到最佳的展示效果,

确定继续浏览么?

复制成功,请在其他浏览器进行阅读

电磁场效应下HR神经元的全局分岔与参数辨识

  • 肖冉
  • 安新磊
  • 祁慧敏
兰州交通大学 数理学院, 兰州 730070

最近更新:2021-11-08

DOI:10.6052/1672-6553-2020-109

  • 全文
  • 图表
  • 参考文献
  • 作者
  • 出版信息
EN
目录contents

摘要

详细分析了在磁通变量和电场变量共同作用下五维Hindmarsh-Rose(HR)神经元模型的全局分岔行为.通过数值仿真的方法,做出该神经元系统的双参数分岔图、峰峰间期(ISI)分岔图和最大Lyapunov指数图,发现该系统在双参数平面上具有倍周期分岔、逆倍周期分岔、加周期分岔等分岔模式以及呈“锯齿状”的混沌结构.此外,基于Lyapunov稳定性理论以及自适应同步的方法,以混沌态时的系统为驱动系统,构建对应的响应系统,选择合适的控制器,实现了驱动系统与响应系统的同步,并辨识出未知参数.数值模拟证明了此方法的有效性和可行性.

引言

神经元是神经系统中最基本的结构和功能单位,通过复杂的放电活动,承担着接受刺激、传递信息等重要职责,且神经元的放电活动具有复杂的非线性动力学特

1,因而研究神经元放电活动的动力学行为有着十分重要的意义.上个世纪50年代,Hodgkin和Huxley通过对乌贼轴突触的电压钳位实验数据进行分析,建立了HH神经元模2.这是历史上首个神经元放电活动的数学模型.上个世纪80年代,Hindmarsh和Rose通过对丘脑神经元进行研究,建立了HR神经元模34.近些年来,大量的实验与研究表明,电磁辐射会对神经元放电活动产生影响,且这一影响不可忽略.文献[5]通过非线性动力学理论,分析了HH神经元模型单个及耦合神经元受电磁辐射影响下的放电行为.文献[6]利用非线性动力学理论及数值仿真方法,分析了磁通e-HR神经元模型的动力学特性,并施加Washout滤波器实现了对磁通e-HR神经元模型的隐藏放电控制.文献[7]通过引用磁通变量描述电磁感应下的改进四变量神经元模型,研究了相位同步逼近问题,并发现神经元间的磁通耦合可以产生完美的相位同步.文献[8]研究了电磁刺激对单个神经元以及神经网络系统动力学行为有着显著的调控能力.文献[9]利用磁通变量描述电磁感应的影响,并利用忆阻器耦合实现了磁通对膜电位的调制.更进一步地,通过对神经元施加加性相位噪声,检测了神经元在模态中的动态响应和相变,并观察到双相干共振行为.此外,各个离子通道也会对神经元膜电压产生影响,即通过改变细胞膜内外各离子的浓度,进而改变膜电压大小.文献[10]认为外电场对细胞膜内外各离子通道的传递有影响,从而改变膜电压,并通过引入电场变量,建立了外电场作用下的FHN神经元模型,进一步分析了该模型放电活动动力学特征.但是,上述文献中建立的神经元模型未能同时考虑电场和磁场对神经元模型的影响,有必要在考虑电磁场的情况下再进一步研究.

研究表明,在很多神经元模型的放电活动中也会出现混沌现象,因此研究神经元模型里的混沌控制与同步是十分有必要的.文献[

11]利用滑模控制和Mittag-Leffler函数方法,使分数阶惯性神经元主从系统达到混沌同步.文献[12]通过磁控忆阻器建立了一个e-HR神经元模型,并通过自适应同步控制方法,实现了系统混沌态放电到周期簇放电态的同步控制.文献[13]通过建立全局耦合的抑制性和兴奋性神经元网络,发现耦合强度足够大时能够诱导抑制性和兴奋性神经网络达到几乎完全同步的状态.在一般的混沌控制与同步里,参数都是已知的.但实际混沌系统的参数往往难以确定,如混沌系统的参数本身部分未知或全部未知,工作过程中系统参数受到扰动,神经元系统可能会因为外界刺激电流的改变,使得多个系统参数同时发生变化.因此,参数辨识问题是神经元动力学分析中的重要一环.基于Lyapunov稳定性原理的自适应同步方法是目前参数辨识常用的方1415.文献[16]通过增加控制器个数以及取恰当大小的增益系数,保证了HR神经元模型中一组差异过大的未知参数的准确识别,并缩短了识别的暂态过程.

受上述研究启发,本文考虑到磁场以及外电场两方面都对神经元产生影响,同时引入磁通变量和电场变量,构建了一个改进的五维HR神经元系统.运用Matlab软件做出该系统的双参数分岔图,可以看到该系统具有丰富的放电行为及分岔现象,然后对双参数分岔图里的一条黑线做峰峰间期(ISI)分岔图以及最大Lyapunov指数图,发现该系统具有倍周期分岔、逆倍周期分岔、加周期分岔等分岔模式以及呈“锯齿状”的混沌结构.考虑到放电过程中系统可能多个参数同时发生变化,取定一组参数,使系统为混沌态,以其中五个参数为未知参数,利用Lyapunov稳定性原理和自适应同步方法,选择合适的控制器,使驱动系统和响应系统达成同步,同时辨识出未知参数的值.

1 模型描述

基于三维Hindmarsh-Rose(HR)神经元模型,文献[

17]考虑到电磁辐射对膜电位的影响, 通过加入磁通变量来模拟这一影响,改进成一个四维的Hindmarsh-Rose(HR)神经元模型,再对该四维系统做双参数分岔分析,并通过Washout控制器来实现亚临界Hopf分岔稳定性控制,从而消除了隐藏放电现象.Ma J9考虑到外电场参与细胞内各离子的传递,引起膜电压的变化,引入了电场变量.受上述启发,本文同时引入磁通变量和电场变量,建立磁场电场共同作用下的五维HR神经元动力系统,系统的微分方程如下所示:

x˙=y-ax3+bx2-z+I+Iey˙=c-dx2-y+k1Ez˙=r[s(x-χ0)-z]φ˙=k2x-k3φE˙=k4y-k5E (1)

其中,五个状态变量分别表示膜电位、快电流、自适应慢电流、模拟细胞周围磁场的磁通变量以及外电场,I为外界的刺激电流,a, b, c, d, r, s, χ0是重要的动力学参数,Ie是磁场产生的电磁感应电流,表达式为-k0(α+3βφ2)xαβ是与系统相关的确定参数,k2,k3也是确定系数,为磁通反馈增益.因为快电流y对外电场的变化非常敏感,所以对变量y施加一项k1E来表示外电场对变量y的影响.在本文中,各参数参考值取为:a=1.0b=3.0c=1.0d=5.0s=4.0r=0.006χ0=-1.61α=0.2β=0.03I=3k0=0.1k1=0.1k2=0.3k3=0.5k4=0.2k5=0.3.

2 双参数分岔分析

神经元模型往往会受到外界刺激,从而使神经元的放电行为发生变化.系统(1)中膜电压x的放电行为与系统参数取值有关,其余各参数取参考值时,系统膜电压x随外界刺激电流I变化的峰峰间期(ISI)分岔图如图1所示.从图中我们可以看到:当外界刺激电流I逐渐增大时,系统(1)首先由静息态进入周期1尖峰放电态,随后经过加周期分岔进入周期2,3,4, 5...10簇放电态,再通过倍周期分岔进入混沌态放电,混沌态放电结束后进入周期11的周期簇放电态,再次通过倍周期分岔进入混沌态放电,最后通过逆倍周期分岔进入周期1尖峰放电态.但在实际情况中,外界刺激电流I改变时,系统(1)的其他几个参数可能也同时发生改变.因此研究系统(1)的双参数同时改变时,膜电压x的变化更具有实际意义.

图1 关于参数IISI分岔图

Fig.1 The bifurcation diagram of ISI with respect to parameter I

Ir这两个参数,对系统(1)做双参数分岔分析,其余参数取参考值.系统(1)的双参数分岔结构图如图2所示.图中不同颜色对应着不同的神经元膜电压放电状态,右边颜色栏的数值表示对应的周期簇放电状态.(如数字1表示周期1尖峰放电态,数字2表示周期2簇放电态,数字8表示周期8簇放电态,白色区域代表周期大于或等于20的周期簇放电状态或混沌态).

图2 参数Ir的双参数分岔图

Fig.2 The bifurcation diagram with two parameters I and r

图2做分析可知,当参数I[2.85,3.85]r[0.002,0.027]时,系统(1)表现出非常丰富的周期簇放电状态和“锯齿状”混沌状态.沿图2中的黑线左上到右下方向,可以看到膜电压x经历的放电过程是:先从混沌放电态进入到周期3簇放电,再由倍周期分岔进入周期6, 12, 24...簇放电直到混沌放电态,混沌放电态结束后出现周期4窗口,同样经过倍周期分岔进入周期8,16,32...直到进入混沌放电态.一直反复下去.看到系统(1)每经历一次混沌放电,放电的周期数比混沌放电前的周期数大一,这个过程就是伴有混沌的加周期分岔模式.由此可以观察到,随着黑线的走势,周期数不断加大,相应的周期颜色带面积不断减小,且混沌的窗口也不断减小.此外,从I∈[2.85,3.05],r∈[0.002,0.007]这个参数区间可以看到,此时系统(1)的分岔结构不包含混沌区域的周期层,且相邻周期窗口周期数大一,这个过程称为无混沌的加周期分岔模式.

当以参数r为变量时,其余参数取参考值.沿图2中的黑线从右下到左上方向,可以做出系统(1)膜电压x的峰峰间期(ISI)分岔图如图3(a)所示,图3(b)图3(a)所对应的最大Lyapunov指数图.从图3(a)可以更直观地看出,随着参数r的不断减小,系统的膜电压x放电模式从混沌态放电结束后进入周期3簇放电态,再通过倍周期分岔再次通向混沌态放电,然后进入周期4簇放电态,进一步通过倍周期分岔转向混沌后再进入周期5簇放电态,以此反复下去,最后从高周期簇放电态通过倍周期分岔进入混沌后,通过一次逆倍周期分岔进入周期1尖峰放电态.

(a) 参数IrISI分岔图

(a) The ISI bifurcation diagram of parameters I and r

(b) 对应(a)的最大Lyapunov指数图

(b) The maximum Lyapunov exponent corresponding to (a)

图3 系统(1)的ISI分岔图及最大Lyapunov指数图

Fig. 3 The bifurcation diagram of ISI and maximum Lyapunov exponent diagram of system (1)

根据上述分析,外界刺激可以导致神经元的放电活动发生变化,系统动力学参数可能也会随之改变.这样在多个系统参数发生变化时,如何辨识出变化后的未知参数就有着十分重要的意义.

3 改进五维HR神经元系统的自适应同步及参数辨识

图3(a)可以看到,当r取0.027,其他参数取参考值时,系统(1)为混沌态,以混沌态时的系统为驱动系统,其中a, b, c, d, r为未知参数,建立一个对应的响应系统,基于Lyapunov稳定性理论构建控制器,使两系统达到同步,同时系统中的未知参数a,b,c,d,r能够得到辨识.下面就此进行分析描述.

以混沌态系统作为驱动系统

x˙1=y1-a1x13+b1x12-z1+I+Iey˙1=c1-d1x12-y1+k1Ez˙1=r1[s(x1-χ0)-z1]φ˙1=k2x1-k3φ1E˙1=k4y1-k5E1 (2)

对应受控制的响应系统为

x˙2=y2-a2x23+b2x22-z2+I+Ie+u1y˙2=c2-d2x22-y2+k1E2+u2z˙2=r2[s(x2-χ0)-z2]+u3φ˙2=k2x2-k3φ2+u4E˙2=k4y2-k5E2+u5 (3)

响应系统(3)中的u1,u2,u3,u4,u5为控制器,控制器的目的是使两系统达到同步,控制器的个数要依据具体的系统来确定.从成本最小化角度来说,保证同步中暂态过程不过长的同时,控制器形式要尽可能简单且个数尽可能少.驱动系统(2)和响应系统(3)之间对应变量与参数的误差系统为

ex=x2-x1,  ey=y2-y1,  ez=z2-z1,eφ=φ2-φ1,  eE=E2-E1ea=a2-a1,  eb=b2-b1,ec=c2-c1,  ed=d2-d1,  er=r2-r1 (4)

基于自适应同步方法以及Lyapunov稳定性理论,只要保证误差系统的Lyapunov函数正定,且Lyapunov函数对时间的导数负定,那么误差系统(4)渐进稳定,从而驱动系统和响应系统达成同步.在这里构建正定的Lyapunov函数为

V=12(ex2+ey2+ez2+eφ2+eE2+ea2+eb2+ec2+ed2+er2) (5)

那么Lyapunov函数对时间的导数为

dVdt=V˙=exe˙x+eye˙y+eze˙z+eφe˙φ+eEe˙E+eae˙a+ebe˙b+ece˙c+ede˙d+ere˙r (6)

可得误差系统(4)中状态变量的误差具体为

e˙x=ey-ez-a2ex(x12+x22+x1x2)-x13ea+b2ex(x1+x2)+x12eb-k0αe-3k0β(φ22ex+x1eφ(φ1+φ2))+u1e˙y=ec-d2ex(x1+x2)-x12ed-ey+k1eE+u2e˙z=sr2ex+ser(x1-χ0)-r2ez-z1er+u3e˙φ=k2ex-k3eφ+u4e˙E=k4ey-k5eE+u5 (7)

将(7)式代入(6)式,整理后得

V˙=ea(-x13ex+e˙a)+e˙b(x12ex+e˙b)+ec(ey+e˙c)+ed(-x12ey+e˙d)+er(sx1ez-sχ0ez-z1ez+e˙r)-[a2ex(x12+x22+x1x2)+k0α+3k0βφ22]ex2-ey2-r2ez2-k3eφ2-k5eE2+[exey-eexez+b2(x1+x2)ex2-3k0βx1eφ(φ1+φ2)ex-eyd2ex(x1+x2)+k1eEey+ezsr2ex+k2eφex+k4eEey+u1ex+u2ey+u3ez+u4eφ+u5eE] (8)

为了使Lyapunov函数对时间的导数达到负定,利用待定系数法,令(8)式中除了负定项外的项全为0,只保留负定项.此时有

V˙=-[a2ex(x12+x22+x1x2)+k0α+3k0βφ22]ex2-ey2-r2ez2-k3eφ2-k5eE2<0 (9)

为使(9)式成立,参数所需满足的条件如下

e˙a=x13exe˙b=-x12exe˙c=-eye˙d=x1eye˙r=sχ0ez-sx1ez+z1ez (10)

因为驱动系统里的未知参数a1,b1,c1,d1,r1为常数,它们的导数为0,即a˙1=b˙1=c˙1=d˙1=r˙1=0,那么响应系统里的参数估计值为

a˙2=e˙a+a˙1=x13exb˙2=e˙b+b˙1=-x12exc˙2=e˙c+c˙1=-eyd˙2=e˙d+d˙1=x12eyr˙2=e˙r+r˙1=sχ0ez-sx1ez+z1ez (11)

同时为了使(9)式成立,还需有

exey-exez+b2(x1+x2)ex2-3k0βx1eφ(φ1+φ2)ex-eyd2ex(x1+x2)+ke1eEey+ezsr2ex+k2eφex+k4eEey+u1ex+u2ey+u3ez+u4eφ+u5eE=0 (12)

如此可确定控制器的表达式,本着成本最小化的角度出发,控制器个数选择为3个,数学表达式为

u1=-ey+ez-b2(x1+x2)ex+3k0βx1eφ(φ1+φ2)+eyd2(x1+x2)-k2eφu2=-(k1+k4)eEu3=-sr2ex (13)

此时Lyapunov函数对时间的导数负定,系统(2)和系统(3)达成混沌同步,下面进行具体的数值仿真来进行验证.

4 数值仿真

在具体的数值仿真中,令驱动系统中状态变量初值取(-0.1,-0.2,-0.3,-0.4,-0.5),响应系统状态变量初值取(0.1,0.2,0.3,0.4,0.5),未知参数取为a1=1,b1=3,c1=1,d1=5,r1=0.027,此时驱动系统为混沌态,将响应系统初始参数取为a2=1.2,b2=4,c2=1.5,d=6.2,r=0.003.通过Matlab软件进行数值模拟,得到响应系统(3)的参数辨识曲线以及同步误差e随时间t的变化如图4所示.可以观察到,经过一定的暂态过程后,同步误差随时间逐渐趋于零附近.驱动系统与响应系统达成同步.且由数值仿真可以得出,在t=1000时,响应系统的参数估计值a2=c2=0.999,b2=3,d2=4.999,r2=0.027,基本趋近于驱动系统的未知参数值,即辨识出驱动系统的未知参数.

图4 系统(3)的参数辨识曲线

Fig.4 Parameter identification curve of system (3)

(a) 变量e1的同步误差图

(a) Diagram of synchronization error for variable e1

(b) 变量e2的同步误差图

(b) Diagram of synchronization error for variable e2

(c) 变量e3的同步误差图

(c) Diagram of synchronization error for variable e3

(d) 变量e4的同步误差图

(d) Diagram of synchronization error for variable e4

(e) 变量e5的同步误差图

(e) Diagram of synchronization error for variable e5

图5 系统(2)与系统(3)同步误差图

Fig.5 Synchronization error diagram of system (2) and system (3)

可以看到,基于Lyapunov稳定性理论和自适应同步方法辨识出了五维HR神经元系统的未知参数值,且从仿真结果可以看到同步误差很快趋近于零,辨识结果也较为准确,说明基于Lyapunov稳定性理论和自适应同步方法的参数辨识是成功的.

5 结论

本文首先基于三维HR神经元模型,通过引入磁通变量和电场变量,构建了一个改进的五维神经元系统(1);其次,利用Matlab软件进行双参数分岔分析, 进一步发现其具有丰富且复杂的分岔模式.如沿着图2黑线从左上到右下方向,系统有着常见的倍周期分岔、加周期分岔的分岔模式,混沌结构呈“锯齿状”;然后,取一种混沌状态的情况单独分析,基于Lyapunov稳定性理论和自适应同步方法,以该混沌神经元系统作为驱动系统,构建一个对应的响应系统,设计了使两个系统同步的控制器,使驱动系统和响应系统达成完全同步,从而混沌系统的未知参数得到了识别,理论证明了控制器的可行性;最后,通过数值仿真得到了五个状态变量的误差图以及参数辨识曲线.从图中可以看到两系统较快地达到完全同步,且未知参数得到识别.本文的研究结果在生物学与医学电磁场下神经元模型的建立中有着一定的参考价值.

参考文献

1

古华光.神经系统信息处理和异常功能的复杂动力学.力学学报2017492):410~420 [百度学术

Gu H G.Complex dynamics of information processing and abnormal function of nervous system. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics2017492):410~420(in Chinese) [百度学术

2

Hodgkin A LHuxley A F.A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve. The Journal of Physiology19521174):500~544 [百度学术

3

Bao B CHu A HXu Qet al.AC-induced coexisting asymmetric bursters in the improved Hindmarsh-Rose model. Nonlinear Dynamics2018924):1695~1706 [百度学术

4

Hindmarsh J LRose R M.A model of neuronal bursting using three coupled first order differential equations. Proceeding of the Royal Society BBiological Sciences19842211222):87~102 [百度学术

5

李佳佳吴莹独盟盟.电磁辐射诱发神经元放电节律转迁的动力学行为研究.物理学报2015643):224~230 [百度学术

Li J JWu YDu M Met al.Study on the dynamic behavior of electromagnetism radiation-induced neuronal firing rhythm transition.Acta Physica Sinica2015643):224~230(in Chinese) [百度学术

6

张薇安新磊乔帅. eHR神经元模型分岔分析与隐藏放电控制.河北师范大学学报(自然科学版)2020442):123~129 [百度学术

Zhang WAn X LQiao Set al.Bifurcation analysis and hidden discharge control of eHR neuron model.Journal of Hebei Normal University (Natural Science Edition)2020442):123~129(in Chinese) [百度学术

7

Ma JMi LZhou Pet al.Phase synchronization between two neurons induced by coupling of electromagnetic field.Applied Mathematics and Computation2017307321~328 [百度学术

8

曲良辉都琳胡海威.电磁刺激对FHN神经元系统的调控作用.动力学与控制学报2020181):40~48 [百度学术

Qu L HDu LHu H Wet al. Regulation of electromagnetic stimulation on FHN neuronal system. Journal of Dynamics and Control2020181):40~48(in Chinese) [百度学术

9

Wu F QWang C NJin W Yet al. Dynamical responses in a new neuron model subjected to electromagnetic induction and phase noise. Physica AStatistical Mechanics and its Applications201746981~88 [百度学术

10

Ma JZhang GHayat Tet al.Model electrical activity of neuron under electric field. Nonlinear Dynamics2018467):1~14 [百度学术

11

朱军辉程春蕊毛北行.分数阶参数时滞相关的惯性两神经元系统的混沌同步.数学的实践与认识20184810):238~246 [百度学术

Zhu J HCheng C RMao B X.Chaotic synchronization of fractional order parameter delay-time dependent inertial two-neuron system.Journal of Mathematics in Practice and Theory20084810):238~246(in Chinese) [百度学术

12

王红梅安新磊乔帅. e-HR神经元模型分岔分析与同步控制.山东大学学报(理学版)2020559):10~18 [百度学术

Wang H MAn X LQiao Set al.Bifurcation analysis and synchronization control of e-HR neuron model.Journal of Shandong University (Science Edition)2020559):10~18(in Chinese) [百度学术

13

曹金凤韩芳.考虑树突整合效应的神经元网络的放电和同步特性.动力学与控制学报2019176):560~566 [百度学术

Cao J FHan F. Firing and synchronization characteristics of neuronal networks considering dendritic integration effect.Journal of Dynamics and Control2019176):560~566(in Chinese) [百度学术

14

Wang Y WWen C YSoh Y Cet al. Adaptive control and synchronization for a class of nonlinear chaotic systems using partial system states. Physics Letters A20053511):79~84 [百度学术

15

Fotsin H BDaafouz J. Adaptive synchronization of uncertain chaotic colpitts oscillators based on parameter identification. Physics Letters A20053393-5):304~315 [百度学术

16

马军苏文涛高加振.Hindmarsh-Rose混沌神经元自适应同步和参数识别的优化研究.物理学报2010593):1554~1561 [百度学术

Ma JSu W TGao J Z.Optimization of adaptive synchronization and parameter recognition of chaotic neurons. Acta Physica Sinica2010593):1554~1561(in Chinese) [百度学术

17

乔帅安新磊王红梅.电磁感应下HR神经元模型的分岔分析与控制.山东大学学报(理学版)2020559):1~9 [百度学术

Qiao SAn X LWang H Met al.Bifurcation analysis and control of HR neuron model under electromagnetic induction.Journal of Shandong University (Science Edition)2020559):1~9(in Chinese) [百度学术

微信公众号二维码

手机版网站二维码