摘要
结合准零刚度(quasi-zero stiffness, QZS)结构和X型结构,设计了一种新型X型准零刚度隔振器(X-QZS).通过准零刚度弹簧组替换X型结构中的线性弹簧,达到超低频隔振的效果.利用拉格朗日方程建立了动力学方程,通过谐波平衡法和弧长法得到了系统响应的近似解析解并通过数值法验证了解析解的正确性.研究了系统的动力学响应和隔振性能.分析结果表明X-QZS结构在超低频范围的隔振效果能够比QZS更好,共振频率更低,隔振频带更宽.
传统隔振器具有成本低、结构简单等优
通过将结构刚度设计为非线性可以解决这一矛
基于X型结构的隔振器已有大量的研究,这是一种新颖、理想、无源的非线性刚度、阻尼的实现方式.由于具有十分有益的非线性刚度和非线性阻尼,可调参数众多,开始受到关注.已有研究对常规的X型结构的系统参数做了全面的分析,如杆长比例、层数和装配角度等影响因
受到线性刚度经过X型结构优化为非线性刚度启发,将已有的准零刚度与X型结构结合,得到的系统理论上可能会具有更好的隔振性能.
本文将系统地研究X型准零刚度隔振器的非线性特性.通过建立数学模型,通过拉格朗日方程建立动力学方程,并使用谐波平衡法获得系统的近似稳态响应的解析解,并通过与数值解的对比,实现近似解析解与数值解的相互验证.研究不同参数系统受到基底位移激励下系统的稳态响应,并与QZS系统进行对比,获得X-QZS系统性能优于QZS系统性能时的参数条件.
本节建立X型准零刚度(X-QZS)结构的力学模型,给出了结构的几何参数以及它们之间的几何关系,并进行了初步的力学分析.X-QZS结构的设计如

图1 X型准零刚度隔振器的力学模型
Fig.1 Schematic diagram of X-QZS
准零刚度弹簧组由非线性弹簧kn表示.X型结构由两根长为2l的杆铰结而成,装载时与底座成夹角α.一个非线性刚度为kn的弹簧组被装在杆的一端,与之并联的是阻尼系数为c的阻尼器.准零刚度弹簧组如

图2 准零刚度弹簧组示意图
Fig.2 Schematic diagram of QZS


图3 在轨卫星防冲击捕捉系统图
Fig.3 Schematic diagram of anti-impact satellite manipulato
设隔振器上的主质量为m,其绝对位移为y.基底的绝对位移为z,主质量与基底之间的相对位移u=y-z,杆的角位移为θ.从
(1) |
(2) |
将以上二式相结合,可以得到位移x、θ与u之间的关系
(3) |
(4) |
该结构的动能为
(5) |
该结构的势能可以写为
(6) |
由拉格朗日方程
(7) |
其中耗散能D可以表示为
(8) |
拉格朗日函数为
(9) |
将上式带入计算得到系统的运动方程为
(10) |
为了计算简便,定义以下几个非线性方程
(11) |
(12) |
(13) |
将上述非线性方程带入运动方程得到
(14) |
根据非线性方程可以得到

(a) 不同刚度对比
(a) With different k1 and k2

(b) 不同装载角对比
(b) With different α
图4 X-QZS的回复力曲线
Fig.4 Static force-displacement curve of X-QZS
将非线性方程在零点进行五阶泰勒展开为
(15) |
(16) |
(17) |
将泰勒展开形式的非线性方程替换原方程得到
(18) |
位移激励z的形式为
(19) |
上式可以变形为
(20) |
(21) |
使用谐波平衡法对方程进行求解,假设位移u的解析形式为
(22) |
其中i是谐波次数,i=0,1,2,…,n.基于上式,速度响应和加速度响应分别为
(23) |
(24) |
将以上三式带入动力学方程平衡谐波后得到
(25) |
(26) |
可以求得质量块m的绝对位移y的幅值y0为
(27) |
定义传递率
(28) |
本文没有特殊说明时的参数值参照

图5 X-QZS的位移传递特性
Fig.5 Displacement transmissibility of X-QZS

(a) 不同刚度对比
(a) With different k1

(b) 弹簧刚度与传递率峰值关系图
(b) k1-peak transmissibility curve
图6 弹簧刚度的影响
Fig.6 Influence of stiffness on transmissibility

(a) 不同弹簧原长
(a) With different s

(b) 不同装载角
(b) With different α
图7 系统参数对传递率的影响
Fig.7 Influence of parameters on transmissibility
由于X-QZS相比QZS结构,额外可以调节的参数为l和α,由于l对结构性能的影响较小,所以以下对比主要调整α.

(a) 改变X-QZS装载角大小
(a) With variable α of X-QZS

(b) 改变X-QZS阻尼大小
(b) With variable c of X-QZS
图8 QZS与X-QZS的对比
Fig.8 Comparison between X-QZS and QZS
通过对比X-QZS和QZS结构的响应可以发现,对于不变的非线性弹簧组,装载角小于一定角度时X-QZS的整体表现均优于QZS结构,但是在临界附近对于角度十分敏感,即使1°的增幅X-QZS的硬特性也会十分明显,所以在允许的情况下尽量小的角度是更好的选择.而对于选定的装载角,降低阻尼可能使共振峰偏移超过QZS结构,增大阻尼可以有效抑制共振峰,且阻尼在较大的增长空间内都不会使高频传递率超过QZS结构,也就是说阻尼在一定的区间内X-QZS的表现优于QZS,将QZS结构置于X型结构中时可以适当调高阻尼.
提出将准零刚度结构和X型结构结合形成的X型准零刚度隔振器,并以隔离无重力环境下太空中存在的超低频振动为例,展示该结构的高效隔振性能.使用谐波平衡法和龙格库塔法求解运动控制方程,数值结果和解析结果能够很好地吻合.然后,研究表明,刚度、装载角的增大以及弹簧原长、阻尼的减小会引起共振峰的急剧增加,所以设计时要留有冗余.较小的刚度、装配角和较大的阻尼、弹簧原长都降低了振动强度.因此,X-QZS系统有着出色的低频隔振性能,在一定条件下,优于QZS系统,共振频率极大地降低,使隔振频带得到进一步拓宽.
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