减震结构多目标性能曲线的设计及应用

杜东升，张云龙，李威威，万卓明，金骥; Du Dongsheng; Zhang Yunlong; Li Weiwei; Wan Zhuoming; Jin Ji

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减震结构多目标性能曲线的设计及应用

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杜东升 ¹
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张云龙 ¹
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李威威 ¹
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万卓明 ¹
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金骥 ²

1. 南京工业大学土木工程学院，南京 211816； 2. 上海交通大学后勤保障中心，上海 200240

最近更新：2020-11-23

DOI：10.6052/1672-6553-2020-060

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摘要

减震性能曲线用于调整阻尼比不同于结构固有阻尼比时的地震响应，它对减震结构的简化设计与分析具有重要意义.本文首先推导出了单质点体系在简谐激励位移减震率η_d与加速度减震率η_a的解析表达式，分析表明在各种激励频率下，η_d随阻尼比增大而减小，但η_a在一定激励频率范围会出现随阻尼比增大、再减小，而后又增大的现象.该现象可以揭示为何有些地震激励下减震结构的加速度和地震剪力会增大的现象；减震率在共振点处取得最小值，且结构自振周期值离共振点越近减震率越小，即增加阻尼比对结构的减效果就越好；在解析解结果的基础对地震波的减震性能曲线进行分析，并设计出了双目标的性能曲线函数.最后，利用算例验证了所得性能曲线在实际工程应用中的可行性和准确性.

关键词

性能曲线; 减震率; 解析解; 地震波; 时程分析

引言

在地震作用下，阻尼器对结构的减震效果可用配置阻尼器的减震结构与原结构的地震反应之比η来表示^［

1］.该无量纲参数η称为地震反应的减震率，为方便起见，将不同阻尼比相对于基础阻尼比的减震率绘制成的参考曲线称为结构的减震性能曲线^{［参考文献 2
百度学术}2］.性能曲线对减震结构、隔震结构的设计与分析具有重要意义.其中较为重要的两个减震率参数为位移减震率η_d和加速度减震率η_a，他们的定义如下：

η_{d} (ξ) = \frac{d_{m a x} (ξ)}{d_{m a x} (ξ = 0.05)}

（1）

式中，d_max（ξ）是结构阻尼比为ξ时的位移响应幅值，d_max（ξ=0.05）是结构阻尼比为0.05时的位移响应幅值.

η_{a} (ξ) = \frac{a_{m a x} (ξ)}{a_{m a x} (ξ = 0.05)}

（2）

式中，a_max（ξ）是结构阻尼比为ξ时的加速度响应幅值，a_max（ξ=0.05）是结构阻尼比为0.05时的加速度响应幅值.

由以上公式可以看出，减震率η可用来表示具体阻尼比对结构地震反应的修正情况，减震率η越小时，意味着当前阻尼对结构的减震效果越好，所以人们经常根据结构所需的性能水准和性能目标，通过η值来确定结构所需的阻尼比.

目前国内外有很多对减震率及性能曲线的相关研究^［

3-10］，但对不同自振周期下消能减震结构性能曲线数值变化规律的详细研究却很少.图1为文献［11］中所给出的单质点体系在不同自振周期下的性能曲线参考图，其中，图1a为位移性能曲线ξ-η_d关系图，图1b为加速度性能曲线ξ-η_a关系图，可以看出，在图1a中，位移减震率η_d总是随着阻尼比ξ的增大而减小；但在图1b中，在结构自振周期值较大的情况下，会出现加速度减震率η_a随着阻尼比ξ的增大呈先减小再增大的趋势.

（a）位移性能曲线ξ-ηd

（a） ξ-ηd performance curve of displacement

（b）加速度性能曲线ξ-ηa

(b) ξ-ηa performance curve of acceleration

图1 文献中的性能曲线ξ-η关系图

Fig.1 ξ-η performance curve of literature

一般认为，随着阻尼比的增加，结构的动力响应会相应减小，但大量研究却表明：位移响应确实会随阻尼比的增加而减小，但加速度响应在大多数地震作用下会出现随阻尼比的增加呈现先减小后增大的规律，目前尚未有相关文献讨论其机理.

本文主要针对这一问题进行深入探讨，通过对单质点体系简谐波激励下减震性能曲线的研究，推导不同自振周期下位移与加速度减震率的解析解公式，作出相关性能曲线，并以该解析结果为基础对实际地震波进行分析，以此说明减震结构地震反应的一些规律及其理论原因.

1 单质点体系简谐波激励下的减震率公式推导

在单质点体系（弹性）输入简谐激励的情况下，根据结构动力学知识，可用“位移反应系数R_d”来推导位移减震率η_d，R_d定义如下：

R_{d} = \frac{u_{0}}{{(u_{s t})}_{0}} = \frac{1}{\sqrt[]{{[1 - {(ω / ω_{n})}^{2}]}^{2} + {[2 ζ (ω / ω_{n})]}^{2}}}

（3）

其中，R_d是位移反应系数，u₀是动位移幅值，（u_st）₀是静位移幅值，ξ是阻尼比，ω是激励频率，ω_n是结构的固有频率.则位移性能曲线参数η_d可用下式推导得出：

η_{d} = \frac{R_{d} (ξ)}{R_{d} (ξ = 0.05)}

（4）

同样，选用“谐振激励的传递率TR理论”公式来推导加速度性能曲线参数η_a，其定义如下：

R_{a} = T R = \frac{{\ddot{u}}_{0}^{t}}{{\ddot{u}}_{g 0}} =

{\{\frac{1 + {[2 ξ (ω / ω_{n})]}^{2}}{{[1 - {(ω / ω_{n})}^{2}]}^{2} + {[2 ξ (ω / ω_{n})]}^{2}}\}}^{1 / 2}

（5）

其中， ${\ddot{u}}_{0}^{t}$ 是到质量的加速度， ${\ddot{u}}_{g 0}$ 是地面加速度的幅值.则加速度性能曲线参数η_a可用下式推导得出：

η_{a} = \frac{T R (ξ)}{T R (ξ = 0.05)}

（6）

2 单质点体系减震性能曲线

2.1　简谐波激励下的性能曲线

假设一单质点体系，根据公式3~5作出不同ω/ω_n下阻尼比ξ与性能曲线参数η的关系图，其中阻尼比的范围为0.05~0.75；由公式（5）可以看出，当ω/ω_n< $\sqrt[]{2}$ 时，无论何种阻尼比下R_a>1；当ω/ω_n> $\sqrt[]{2}$ 时，无论何种阻尼比下R_a<1；ω/ω_n=1代表共振的情况，则可大致将ω/ω_n<1的部分（虚线）视为相对低频激励下的关系曲线，将1<ω/ω_n< $\sqrt[]{2}$ 的部分（点线）视为相对中频激励下的关系曲线，将ω/ω_n> $\sqrt[]{2}$ 的部分（点划线）视为相对高频激励下的关系曲线，ω/ω_n=1（实线）为共振点处的关系曲线，具体结果见图2.

（a）位移性能曲线图

(a) Performance curve of displacement

（b）加速度性能曲线图

(b) Performance curve of acceleration

图2 单质点体系简谐激励下性能曲线图

Fig.2 Performance curve of SDOF system under harmonic excitation

由图2a的位移性能曲线可以得出以下结论：（1）无论在何种自振周期下，位移减震率随阻尼比的增加而减小；（2）随着阻尼比的增加，位移减震率的减小幅度会越来越小；（3）频率比值离共振点（ω/ω_n=1）越近的，位移减震率越小.

同样，由图2b的加速度性能曲线可以得出以下结论：（1）在低频激励下，加速度减震率同样会随阻尼比的增加而减小，且其减小幅度也会越来越小；（2）随着激励频率的增加，加速度减震率反而会随着阻尼比的增加而增加，经前文推导，其界限为ω/ω_n= $\sqrt[]{2}$ ；（3）频率比值离共振点越近的，加速度减震率越小.

2.2　共振点减震率公式

由上节可知，单质点体系无论处于何种自振周期下，其自振周期值离共振点越近，减震率就会越小，即增加阻尼比对体系动力反应的降低效果就越好.因此，可将ω/ω_n=1带入公式3~6，得出共振点处的位移及加速度减震率公式（7）和（8）：

η_{d} = \frac{1}{20 ξ}

（7）

η_{a} = \sqrt[]{\frac{1}{101} (1 + \frac{1}{4 ξ^{2}})}

（8）

该结果对于增加阻尼器的使用效率及减震设计中的选波等工程问题具一定有指导意义.

2.3　特定地震波下的性能曲线

通过傅里叶变换将一条地震波分解成若干条简谐波，然后可以根据上一节的方法得到每条简谐波的减震率，通过合成就可以得到单质点体系特定地震波的性能曲线.

以三条著名地震波“El Centro-1940 NS”、“Taft-1952 EW”、“Kobe-1995 NS”为例，它们的加速度时程曲线如图3所示：

（a） El Centro波

（a） El Centro wave

（b） Taft波

（b） Taft wave

（c） Kobe波

图3 地震波加速度时程曲线

Fig.3 Ground motion acceleration

在确定阻尼比下，由傅里叶变换所得的每条简谐波都可根据公式（3）和公式（5）得出R_d与R_a值，在地震波持续时间中的各个时间点t，将所有简谐波R_d与R_a值按各简谐波的A_ncos（ω_nt+φ_n）值取加权平均，取其中最大值，再结合公式（4）和公式（6）得出该地震波的减震率η_d与η_a值.以此为基础，最终得出的三条地震波的性能曲线如图4~6所示，由于在实际工程中，建筑结构的阻尼比一般较小，所以图中给出的阻尼比范围不超过25%.

（a）位移性能曲线图

（a） Performance curve of displacement

（b）加速度性能曲线图

（b） Performance curve of acceleration

图4 单质点体系El Centro波性能曲线图

Fig.4 Performance curve of SDOF system under El Centro wave

（a）位移性能曲线图

（a） Performance curve of displacement

（b）加速度性能曲线图

（b） Performance curve of acceleration

图5 单质点体系Taft波性能曲线图

Fig.5 Performance curve of SDOF system under Taft wave

（a）位移性能曲线图

（a） Performance curve of displacement

（b）加速度性能曲线图

（b） Performance curve of acceleration

图6 单质点体系Kobe波性能曲线图

Fig.6 Performance curve of SDOF system under Kobe wave

从图4~6中可以看出，得出的各条地震波性能曲线规律与图1基本类似，由此可以得出以下结论：（1）各条地震波的位移减震率随阻尼比增加而减小，且其减小幅度会越来越小，这与简谐波激励下的规律相同；（2）各条地震波的加速度减震率对部分周期的结构会随着阻尼比的增加而减小，但对于部分周期的结构会随着阻尼比的增加而增加；（3）由于构成实际地震波的简谐波幅值及频率丰富，长自振周期体系会使简谐波激励周期与自振周期的比值ω/ω_n包含范围也较为丰富，所以其η_a值会随阻尼比的增大呈先减小后增大的趋势.

在实际工程问题中，可用该方法得出任意一条地震波的位移及加速度性能曲线图，从而能够在特定结构的抗震分析中以此为依据选取适用于该结构的地震波.

2.4　时程分析结果核对

通过时程分析的结果，对上述地震波信号分解重构的结果进行对比验证，计算取其中几个较为典型的自振周期值，对比结果具体见图7~9.从以上结果可以看出，解析解与时程分析所得结果相比更为平滑，但两者误差较小，在可接受范围之内.

（a）位移性能曲线对比

（a） Comparison of performance curves of displacement

（b）加速度性能曲线对比

（b） Comparison of performance curves of acceleration

图7 El Centro波解析解（虚线）与时程分析（实线）结果对比

Fig.7 Analytical solution comparison of El Centro wave (dashed line) and time history analysis (solid line)

（a）位移性能曲线对比

（a） Comparison of performance curves of displacement

（b）加速度性能曲线对比

（b） Comparison of performance curves of acceleration

图8 Taft波解析解（虚线）与时程分析（实线）结果对比

Fig.8 Comparison of Taft wave analytical solution (dashed line) and time history analysis (solid line)

（a）位移性能曲线对比

（a） Comparison of performance curves of displacement

（b）加速度性能曲线对比

（b） Comparison of performance curves of acceleration

图9 Kobe波解析解（虚线）与时程分析（实线）结果对比

Fig.9 Analytical solution comparison of Kobe wave (dashed line) and time history analysis (solid line)

3 单质点体系多目标性能曲线

3.1　简谐激励下的多目标性能曲线

如前文所述，在减震设计中，可根据结构所需的性能水准和性能目标，通过性能曲线来确定结构所需的阻尼比，位移与加速度（剪力）又是比较重要的两个反应结构性能的参量.所以，在很多情况下，位移与加速度性能曲线要同时列入考虑的范围之内.

为解决综合考虑两种性能目标时及当两种性能目标出现矛盾时应如何抉择的问题，现将位移减震率及加速度减震率两个参数放入一张图中，在两种性能目标下得出不同阻尼比时，取较大的阻尼比即可，具体见图10：

图10 简谐激励下多目标性能曲线图

Fig.10 Multi-objective performance curve under harmonic excitation

图10在理论上得出了较大频率比及阻尼比范围下的性能曲线变化规律，但在实际工程问题中，我们则需要地震波激励下、小阻尼比范围内更为详细的性能曲线参考图.

3.2　特定地震波激励下的多目标性能曲线

根据多目标性能曲线绘制方法，对单质点体系进行时程分析，输入三条地震波，将所得位移及加速度性减震率放入一张性能曲线图中，具体见图11所示，初始阻尼比均设为2%：

（a） El Centro波下的多目标性能曲线图

（a） Multi-objective performance curve under El Centro wave

（b） Taft波下的多目标性能曲线图

（b） Multi-objective performance curve under Taft wave

（c） Kobe波下的多目标性能曲线图

（c） Multi-objective performance curve under Kobe wave

图11 地震波激励下的多目标性能曲线图

Fig.11 Multi-objective performance curve under seismic wave excitation

以上得出的地震波多目标性能曲线图，可较为方便地直接用于特定地震波激励下的结构减震设计中.

4 算例分析

4.1　算例概况

6层剪切型建筑模型，如图12所示，采用商业有限元计算软件sap2000进行建模分析，在分析设置中选择“平面框架，XZ平面”分析选项，以约束平面外的自由度；对梁刚度属性做放大修正使梁为无限刚梁，以Link单元模拟柱连接，以Damper模拟阻尼器连接.每层质量均设为m=80t，层刚度均设为k=4.0×10⁷N/m；该结构无阻尼自振频率为ω₁=5.39rad/s，整个结构嵌入地基.

图12 算例模型

Fig.12 Model used in numerical example

4.2　算例减震设计及分析步骤

本次工作采用文献［

1］中的五步法减震设计规程，以Kobe波为例说明具体步骤及验算结果.

4.2.1　第一步：确定结构所需的阻尼比

设位移与加速度性能目标为η_d=0.7、η_a=0.7，将结构等效为单质点体系后由公式9~11可得T=1.35s，则由图11c中的性能曲线可得ξ≈15%，则取 $\bar{ξ}$ =15%.

M^{*} = Φ_{i}^{T} M_{S} I

（9）

K_{^{i}}^{*} = Φ_{i}^{T} K_{S} Φ_{i} Γ_{i}

（10）

Γ_{i} = Φ_{i}^{T} M_{S} I / Φ_{i}^{T} M_{S} Φ_{i}

（11）

其中，M_i^*、K_i^*是体系的单质点等效质量、等效刚度，Φ_i是体系控制地震响应的第i阶阵型，M_S是体系的质量矩阵，I是单位矩阵，K_S是体系的刚度矩阵，Γ_i是结构第i阶阵型参与系数.

4.2.2　第二步：确定线性粘滞阻尼器的初始特性

楼层N=6；总质量m_tot=480t；自振频率ω₁=5.39rad/s；阻尼器相对于轴线的水平倾斜角度φ=arctan（3.5/6）=30.24°.根据公式12计算得每层所需的阻尼系数之和为c_storey=2165kN·s/m，再由公式13计算得每层倾斜布置的阻尼系数之和

c_{storey，inclined}=2900kN·s/m.

c_{s t o r e y} = \bar{ξ} \cdot m_{t o t} \cdot ω_{1} \cdot (N + 1)

（12）

c_{j, i n c l i n e d} = c_{j} \cdot (\frac{1}{c o s^{2} ϕ})

（13）

4.2.3　第三步：初步时程分析

根据第二步计算所得的计算结果对结构模型进行阻尼器的布置，输入地震波进行时程分析，得出各层阻尼器的最大速度为：v₁=4.47cm/s，v₂=6.55cm/s，v₃=6.16cm/s，v₄=4.96cm/s，v₅=3.45cm/s，v₆=1.95cm/s.

4.2.4　第四步：确定“等效”非线性粘滞阻尼器特性

假设 $\bar{α}$ =0.3、χ=0.8，根据公式14计算得每层非线性阻尼器的阻尼系数为：c_NL，1=292kN·s/m，c_NL，2=381kN·s/m，c_NL，3=365kN·s/m，c_NL，4=314kN·s/m，c_NL，5=244kN·s/m，c_NL，6=163kN·s/m.根据公式（15）计算得k_oil≥1.61×10⁵kN/m，则假定 ${\bar{k}}_{o i l}$ ≥2×10⁵kN/m.

{\bar{c}}_{N L} ≅ {\bar{c}}_{L} \cdot {(0.8 \cdot v_{m a x})}^{1 - \bar{α}}

（14）

{\bar{k}}_{o i l} \geq 10 \cdot \frac{{\bar{c}}_{L} \cdot v_{m a x}}{x_{m a x}} ≅ 10 \cdot {\bar{c}}_{L} \cdot ω_{1}

（15）

4.2.5　第五步：最终时程分析结果

图13~14给出了最终时程分析的结果：

（a）层间位移对比

（a） Comparison of displacements of different floors

（b）层间剪力对比

（b） Comparison of shear forces of different floors

图13 减震设计前后各层地震响应对比

Fig.13 Comparison of seismic responses of different floors before and after seismic design

图14 减震设计各层性能目标

Fig.14 Performance objective of each layer under seismic design

由以上结果可以看出，该算例输入kobe波时，结构位移和加速度（剪力）的性能目标基本上得到了满足，在较高楼层的减震率甚至远远超出了预期效果.

5 小结

本文通过简谐激励的分析结果可以得出以下三个重要的结论：

（1）在减震结构设计中，持续增加结构的阻尼比，即配置更多的阻尼器，可以有效降低地震位移响应，对于不同的结构周期和激励周期比值下，配置更多的阻尼器反而还增加减震结构的加速度响应.

（2）在进行不同性能目标的减震设计时，可以利用本文提出的多目标性能曲线进行需求阻尼比的求解.

（3）通过多目标减震性能曲线可以看出，减震结构的位移减震率和加速度减震率是相关的，确定各自取值时应考虑两者之间的相互影响.

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减震结构多目标性能曲线的设计及应用

摘要

关键词

引言

1 单质点体系简谐波激励下的减震率公式推导