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混合体系多塔斜拉桥竖弯刚度评估动力学理论

  • 苏潇阳
  • 康厚军
  • 丛云跃
湖南大学 土木工程学院,长沙,410082

最近更新:2020-09-01

DOI:10.6052/1672-6553-2019-119

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摘要

基于斜拉桥的受力特点和形状特征,提出了用于混合体系多塔斜拉桥面内竖弯刚度评估的多梁离散弹簧动力学模型.首先,在课题组相关成果的基础之上,介绍了采用传递矩阵法对不同体系斜拉桥的处理方式.然后,通过使用连续性条件和边界条件,建立了混合体系多塔斜拉桥竖弯刚度评估的基本理论.最后,以赤石大桥为例,建立了相应的有限元模型,并将本文方法算出的频率与有限元和实测得到的频率进行对比,表明本文方法的正确性,可用于混合体系多塔斜拉桥面内竖弯刚度的评估.

引言

随着我国经济水平的不断提高和桥梁建造技术的不断成熟,斜拉桥的跨径在一次次地突破极限,于2008年建成通车的苏通大桥主跨径达到了1088米.一方面,随着跨径的增加,斜拉桥将会变得更柔,在环境激励下(例如风荷[

1],地震荷载和车辆荷[2-4]等)容易发生大幅振动,从而影响其动力学特性.另一方面,斜拉桥本身作为一种柔性结构,刚度不足是其主要问题.因此,如何建立准确的力学模型来评估斜拉桥的竖弯刚度,一直是桥梁工作者的研究目标之一.对斜拉桥动力学特性的研究一般通过斜拉梁模[5–7]来实现,但斜拉梁模型作为斜拉桥中的一个构件,虽能揭示斜拉桥的部分动力学行为,但在某些方面仍稍显不足,例如斜拉梁模型不能考虑桥塔的振动.因此,众多学者开始注重研究斜拉桥整体的动力学行为.陈恒大[89]基于Rayleigh法和变形协调原理,推导了三塔斜拉桥竖弯振动的频率公式,对多塔斜拉桥的竖向刚度进行分析,避免了概念设计阶段斜拉桥有限元建模的繁琐性.唐冕[10]基于Rayleigh法,采用主梁的静挠度曲线作为试函数,推导了半漂浮体系和刚构体系斜拉桥多塔部分斜拉桥的基频计算公式,通过与有限元方法和规范中的公式作比较,他们指出所提出的公式可以满足斜拉桥概念设计阶段的需要.李忠三[11]考虑多塔斜拉桥的结构力学特性,采用单位荷载法得到了多塔斜拉桥的拉索弹性支承刚度系数的解析公式.他们指出之所以多塔斜拉桥刚度过低,是因为主梁对中间塔提供的纵向约束刚度太弱.王建国[12]指出由于实验室场地有限,多塔斜拉桥的全桥振动台试验大都无法进行,但考虑到多塔斜拉桥多为对称结构,因此他们对半桥结构纵桥向施加一定地震激励,通过与全桥结构得到的结果进行对比,表明半结构简化的合理性,从而为多塔斜拉桥的室内试验提供了一种思路.孙才志[13]以嘉绍跨江大桥为例,采用ANSYS有限元软件建立该桥模型,对随机地震动作用下的大跨度多塔斜拉桥的结构动力响应进行了数值模拟.他们指出,地震波波速的不同对结构的地震响应影响较大.

上述对多塔斜拉桥动力学行为的研究多数通过有限元模拟来实现,或者通过能量法给出多塔斜拉桥竖向频率的近似计算公式,而针对多塔斜拉桥整体建立动力学模型却很少见到.鉴于此,本文在课题组已有成果的基础[

1415],针对混合体系多塔斜拉桥,建立了相应的多梁离散弹簧动力学模型.本文是文献[14]和[15]的延伸工作,采用传递矩阵法对混合体系多塔斜拉桥的面内特征值问题进行求解,并以赤石大桥为例,对其频率和模态进行了求解,从而对其竖弯刚度进行评估.同时建立赤石大桥的ANSYS模型,并将本文结果与ANSYS和实测得到的结果进行对比,验证了本文方法的正确性.

1 不同体系斜拉桥的力学模型

为了对混合体系多塔斜拉桥的竖弯刚度进行评估,我们首先对不同体系的斜拉桥进行求解.大跨度斜拉桥中常见的体系有刚构体系,半漂浮体系,漂浮体系和塔梁固结体系.对于最后一种体系形式,非对称荷载作用下塔与梁的位移通常不能有效控制,在大跨度斜拉桥中并不经常使用,因此本节的研究对象主要针对前三种体系.图1给出了三种体系斜拉桥的立面图,参照文献[

14]和[15]的处理方法,可以得到图2所示的力学模型.这三种体系的不同点主要在于塔梁连接处点H的处理方式.我们将介绍如何采用传递矩阵法对三种体系进行求解,关于文中涉及的符号的定义可以参考文献[14]和[15].

(a) Rigid-frame system

(b) Semi-floating system

(c) Floating system

图1 斜拉桥三种体系示意图

Fig.1 Schematic diagram of three systems of cable-stayed bridge

图2 斜拉桥力学模型

Fig.2 The mechanical model of cable-stayed bridge

在文献[

14]和[15]中,我们得到了下式

tn+1=Tt1,0 (1)

为便于处理点H,引入输入点状态向量ZI,H,即

ZI,H=EHEZHE+EHFZHF+EHGZHG (2)

考虑梁和塔的轴向振动,式中

ZI,H=Mn+1   Qn+1   Tn+1    M¯n+1   Q¯n+1   T¯n+1   u˜n+1   w˜n+1   φ˜n+1   M˜n+1   Q˜n+1   T˜n+1,
ZHE=un+1wn+1φn+1Mn+1Qn+1Tn+1T,
ZHF=u¯n+1w¯n+1φ¯n+1M¯n+1Q¯n+1T¯n+1T,ZHG=u˜n+1w˜n+1φ˜n+1M˜n+1Q˜n+1T˜n+1T,

EHE=O3×3I3×3O9×3O9×3, EHF=O3×3O3×3O3×3I3×3O6×3O6×3, EHG=O6×6I6×6I表示单位矩阵.

对点H进行受力分析,如图3所示,根据图3可以得到式(3)

图3 点H力的平衡

Fig. 3 Force equilibrium of the point H

ZHK=UHZI,H (3)

式中

ZHK=u˜0,n+2w˜0,n+2θ˜0,n+2M˜0,n+2Q˜0,n+2T˜0,n+2T

由于三种体系在点H处的受力情况和连续性条件不同,所以这里对三种体系分别考虑.

1.1 刚构体系

式(3)UH的表达式为

UH=000000100000000000010000000000001000100-100000100001001000010010010000001

HE, HFHG在点H处应满足位移协调关系,即

DHEZHE=DHFZHF (4)
DHEZHE=DHGZHG (5)

式中,

DHE=100000010000001000,
DHF=10000001000000-1000,
DHG=010000100000001000

为便于书写,引入以下变量

ZI,0=t1,0=ZAZBZC,tn+1=ZHEZHFZHG,T=UAUBUC (6)

式中,

ZA=u1,0w1,0φ1,0M1,0Q1,0T1,0T,ZB=u¯1,0w¯1,0φ¯1,0M¯1,0Q¯1,0T¯1,0T,
ZC=u˜1,0w˜1,0φ˜1,0M˜1,0Q˜1,0T˜1,0T

根据式(1),可以得到

ZHE=UAZI,0,ZHF=UBZI,0,ZHG=UCZI,0 (7)

对于梁段HK,根据传递矩阵法可以得到

ZK=UHKZHK (8)

式(2)和(3)代入式(8)

ZK=UHKUH(EHEZHE+EHFZHF+EHGZHG) (9)

式(7)代入式(9),(4)和(5)可以得到

ZK=UHKUH(EHEUA+EHFUB+EHGUC)ZI,0 (10)
(DHEUA-DHFUB)ZI,0=O (11)
(DHEUA-DHGUC)ZI,0=O (12)

联立式(10)–(12),可以得到

UallZall=O (13)

式中,

Uall=UHKUH(EHEUA+EHFUB+EHGUC)-I6×6DHEUA-DHFUBO3×6DHEUA-DHGUCO3×6,Zall=ZI,0ZK

1.2 半漂浮体系

式(3)UH的表达式为

UH=000000100000000000010000000000001000000000000100000000000010010010000001

HE, HFHG在点H处应满足位移协调关系,即

DHE1ZHE=DHFZHF (14)
DHE2ZHE=DHGZHG (15)

式中,

DHE1=100000010000001000000100000001,
DHF=10000001000000-100000010000000-1,
DHE2=010000,
DHG=100000

采用与刚构体系相同的处理方法,最终可以得到式(13)Uall的表达式为

Uall=UHKUH(EHEUA+EHFUB+EHGUC)-I6×6DHE1UA-DHFUBO5×6DHE2UA-DHGUCO1×6

1.3 漂浮体系

式(3)UH的表达式为

UH=000000100000000000010000000000001000000000000100000000000010000000000001

HEHF在点H处应满足位移协调关系,即

DHEZHE=DHFZHF (16)

式中

DHE=DHF=10000001000000-10000001000000-1000000-1

采用与刚构体系相同的处理方法,最终可以得到式(13)Uall的表达式为

Uall=UHKUH(EHEUA+EHFUB+EHGUC)-I6×6DHEUA-DHFUBO6×6

2 混合体系斜拉桥多梁离散弹簧模型和理论

混合体系多塔斜拉桥可以看作是由上述三种不同体系的单塔斜拉桥相互组合构成.一般而言,大跨度混合体系斜拉桥多为刚构体系和半漂浮体系,或者刚构体系与漂浮体系之间的组合.根据文献[

14]和[15],每一座单塔斜拉桥都对应一个三梁离散弹簧动力学模型,这些模型通过连续性条件相互联系,于是我们可以得到与混合体系多塔斜拉桥对应的多梁离散弹簧力学模型,如图4所示.接下来我们以图4(a),即刚构体系和半漂浮体系相组合的四塔斜拉桥为例进行面内特征值问题求解.

(a) The model with semi-floating side towers and rigid-frame middle towers

(b) The model with floating side towers and rigid-frame middle towers

图4 多梁离散弹簧动力学模型

Fig.4 The dynamic multi-beam model with discrete springs

在上节中,我们对单个体系斜拉桥进行了求解,混合体系多塔斜拉桥的求解则是通过将不同结构体系对应的(13)式联立起来,然后应用A(k)与B(k+1)(k=1,2,3)之间的连续性条件,以及A(1)与B(4)处的边界条件,最终可以得到系统的总的传递矩阵

U¯allZ¯all=O (17)

根据克拉默法则,式(17)有非平凡解,则

Δ=U¯all=0 (18)

式(18)为结构自振频率的超越方程,可采用数值分析方法求其数值解,进而求得斜拉桥整体模态.

3 算例分析

为验证本文方法的正确性,以赤石大桥为例进行算例分析.赤石大桥是中国湖南省郴州市境内的高速通道,位于青头江河道之上,是厦门—成都高速公路(国家高速G76)湖南段的重要构成部分之一,主体结构为165m+3×380m+165m四塔预应力混凝土双索面斜拉桥,边塔采用半漂浮体系,中塔采用刚构体系,边、中跨之比为0.4342,桥塔呈H形索塔,主索塔高近290m,下塔柱高达186m,主桥各塔均布置为23对斜拉索,拉索纵向呈扇形布[

16].表1给出了本文方法,Ansys模型以及实测得到的前五阶频率,从表中可以看出本文方法与另外两种方法计算出的频率之间虽有一定的误差,可以看出有限元法和本文方法计算结果与实验对比,结果偏小,主要原因在于本文计算和有限元模型均有较大的简化.因此,本文建立的方法满足多塔斜拉桥概念设计阶段的要求.限于篇幅,图5给出了赤石大桥前两阶模态对比图,从图中可以看出有限元模型和本文方法计算出的模态吻合较好,从而验证了本文方法的正确性.

表 1 赤石大桥前五阶频率
Table 1 The first five frequencies of Chishi cable-stayed bridge
Mode No.12345
Ansys/Hz 0.232 0.255 0.309 0.407 0.522
Field test/Hz 0.296 0.348 0.427 0.538 0.586
Proposed theory/Hz 0.253 0.264 0.318 0.501 0.532
Errors between the results obtained by Ansys and proposed theory/% 8.300 3.410 2.830 18.760 1.880
Errors between the results of field test and theory/% 14.530 24.140 25.530 6.880 9.220

图5 赤石大桥前两阶模态

Fig. 5 The first two mode shapes of Chishi cable-stayed bridge

4 结论

本文基于斜拉桥的形状特征和受力特点,建立了混合体系多塔斜拉桥的多梁离散弹簧动力学模型.在课题组已有成果的基础之上,介绍了如何采用传递矩阵法对不同体系斜拉桥进行求解的基本方法.然后,通过不同三梁离散弹簧模型之间的连续性条件以及边界条件,建立了混合体系多塔斜拉桥竖弯刚度评估的基本理论.最后,以赤石大桥为例,对桥梁的面内特征值问题进行研究.为了验证本文方法的正确性,采用Ansys建立了赤石大桥的有限元模型,并将本文结果与有限元模型和实测得到的结果进行比较.结果表明本文所建立的模型和方法可用于混合体系多塔斜拉桥的竖弯刚度评估,能够满足多塔斜拉桥计算分析和竖弯刚度评估的需要.文中虽以半漂浮体系和刚构体系相混合的赤石大桥为例,但本文的方法和模型也可用于其他混合体系(例如漂浮体系和刚构体系)多塔斜拉桥的竖弯刚度评估.

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