负泊松比蜂窝夹层板的多周期运动研究

朱绍涛; 李静; 张伟; Zhu Shaotao; Li Jing; Zhang Wei

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负泊松比蜂窝夹层板的多周期运动研究

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朱绍涛 ¹
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李静 ¹
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张伟 ²

1. 北京工业大学理学部，北京 100124； 2. 北京工业大学材料与制造学部，北京 100124

最近更新：2021-11-08

DOI：10.6052/1672-6553-2020-088

摘要

发展高维Melnikov方法研究含参非线性动力系统的多周期解分岔问题，并应用于研究负泊松比蜂窝夹层板的多周期运动等复杂非线性动力学行为. 通过建立曲线坐标与Poincaré映射，发展适用于四维含参非线性动力系统的Melnikov函数，获得系统多周期解的存在性及个数判定定理. 将所得理论结果应用于研究面内激励与横向激励共同作用下负泊松比蜂窝夹层板的多周期运动，获得系统周期轨道的存在性、个数及相应的参数控制条件. 探讨横向激励系数对系统动力学行为的影响，得到在一定参数条件下，系统最多存在4个周期轨道，并利用数值模拟方法给出其相图构型，验证理论结果的正确性.

关键词

负泊松比; 蜂窝夹层板; 多周期运动; Melnikov方法

引言

负泊松比材料是一类典型的力学超材料，它与传统的正泊松比材料不同，在拉伸时会产生膨胀，在挤压时会产生收缩^［

1］，这种反常的特性引起了人们的关注. 早在20世纪80年代，Lakes^{［参考文献 2

百度学术}2］通过对聚氨酯泡沫热处理时得到了负泊松比泡沫材料，这是第一个设计的负泊松比材料. Evans^{［参考文献 3

百度学术}3］在制备具有微孔结构的聚四氟乙烯过程中也实现了负泊松比效应，并将其命名为“拉胀”（Auxetic）材料. 此后，不同学者针对这种材料的设计与实现进行了研究.

与常规材料相比，负泊松比材料表现出更好的压痕阻力^［

4］、断裂韧性^{［参考文献 5

百度学术}5］、抗冲击性^{［参考文献 6

百度学术}6］和能量吸收^{［参考文献 7

百度学术}7］等优点，是一种理想的蜂窝夹芯结构，对航空航天、国防、光学元件、精密仪器以及建筑材料等领域的发展具有重大意义. 当负泊松比材料作为承重等结构应用于实际工程结构时，对其力学与动力学特性的分析显得尤为重要.Scarpa与Tomlinson^{［参考文献 8

百度学术}8］研究了负泊松比蜂窝夹层板的基本频率，表明蜂窝形状的合理设计可以显著提高夹层结构的动力学性能. Chen和Feng^{［参考文献 9

百度学术}9］建立了平面内激励作用下简支薄层合板的动力学模型，分析了不同泊松比值下复合材料层合板在主参数共振作用下的幅频响应. 朱秀芳与张君华^{［参考文献 10

百度学术}10］研究了负泊松比蜂窝夹层板几何参数变化对板振动频率的影响，得到了频率随泊松比的变化规律. Li等^{［参考文献 11

百度学术}11］研究了负泊松比功能梯度夹层梁在热环境下的非线性弯曲振动，获得了夹层梁在大挠度区域的非线性振动及有效泊松比的变化. Zhang等^{［参考文献 12

百度学术}12］研究了负泊松比蜂窝夹层板在阶跃载荷、空气冲击载荷、正弦载荷、三角形载荷和增量载荷作用下的非线性瞬态响应，详细讨论了板的总厚度、芯厚比、泊松比、单元倾角和爆炸类型对板瞬态响应的影响，表明：对于某些结构，在动态载荷作用下，采用负泊松比的蜂窝夹层板比采用正泊松比的蜂窝夹层板更为理想.

周期解理论是有关运动周期轨道存在性与稳定性的理论，Melnikov函数是研究周期解分岔理论的重要手段. Liu和Han^［

13］推导了一类三维非线性系统的Melnikov函数公式，得到系统周期轨道存在的充分条件. Li和Zhang^{［参考文献 14

百度学术}14］利用广义Melnikov方法研究了1：2内共振下的非线性动力学问题，得到了无阻尼平均方程的同宿和异宿轨道的解析表达式，并研究了系统的极限环分岔问题. 孙敏等^{［参考文献 15

百度学术}15］基于周期变换和Poincaré映射推广了四维次谐Melnikov函数，研究一类面内载荷与横向载荷联合作用下四边简支矩形蜂窝夹层板的两倍周期运动. Li等^{［参考文献 16

百度学术}16， 17］发展了Melnikov方法研究四维非自治快慢系统与

2 n

维非自治系统的次谐周期解的存在性，并分别应用于研究蜂窝夹层板与覆冰悬索动力学模型的次谐周期解分岔.

本文基于曲线坐标与Poincaré映射，发展高维Melnikov方法研究一类含参非线性动力系统的多周期解分岔理论，并应用于研究面内激励与横向激励共同作用下负泊松比蜂窝夹层板的多周期运动等复杂非线性动力学行为. 以横向激励系数为主要参数，探讨其对系统多周期运动的影响，获得系统周期轨道的存在性、个数及相应的参数控制条件. 借助Matlab软件进行数值模拟，给出系统多周期运动的相图构型，验证理论结果的正确性.

1 Melnikov方法与多周期解存在性理论

考虑如下一般形式的四维含参系统：

{\dot{x}}_{i} = F_{i} (x, ε, μ) = p_{i} (x_{i}) + ε f_{i} (x, μ)

（1）

式中， $x_{i} = (x_{i 1}, x_{i 2})^{T} \in R^{2}$ ， $x = (x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22})^{T}$ ， $i = 1, 2$ ， $0 < |ε| < < 1$ ， $μ \in R^{m}$ （ $m \in N^{+}$ ）是系统参数， $p_{i} : R^{2} \to R^{2}$ ， $f_{i} : R^{4} \times R^{m} \to R^{2}$ 足够光滑. 假设系统（1）满足如下条件^［

16］：

（A1）当 $ε = 0$ 时，系统（1）退化为两个解耦的Hamiltonian系统

{\dot{x}}_{i} = p_{i} (x_{i}) = J D H_{i} (x_{i})

，

i = 1, 2

（2）

其中， $J = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})$ ， $D H_{i} (x_{i})$ $= {(\frac{\partial H_{i}}{\partial x_{i 1}}, \frac{\partial H_{i}}{\partial x_{i 2}})}^{T}$ ， $H_{i} (x_{i})$ 是Hamilton函数，且存在 $h = (h_{1}, h_{2})^{T}$ $\in K$ $\subset R^{2}$ ，使得系统在 $x_{i}$ 平面内分别存在一族闭轨线： $Γ_{i} = {x_{i}^{h_{i}} | H_{i} (x_{i}) = h_{i}}$ .

（A2）闭轨线 $Γ_{1}, Γ_{2}$ 的方程可以表示为

x_{1}^{h_{1}} = x_{1} (t, h_{1})

，

x_{2}^{h_{2}} = x_{2} (t + t_{0}, h_{2})

对应的周期为 $T_{1} (h_{1}), T_{2} (h_{2})$ .

（A3）存在 $h_{0} = (h_{10}, h_{20})^{T} \in K$ ， $r_{1}, r_{2} \in N^{+}$ 互素，使得 $\frac{T_{1} (h_{10})}{T_{2} (h_{20})} = \frac{r_{1}}{r_{2}}$ .

设 $r_{0}$ 是 $r_{1}, r_{2}$ 的最小公倍数，则未扰系统（2）在不变环面 $Γ_{10} \times Γ_{20}$ 上充满周期为 $r_{0} T$ 的闭轨线.假设闭轨线 $Γ_{i}$ 的参数方程为 $x_{i}^{h_{i}} = ϕ_{i} (s_{i})$ ，其中 $ϕ_{i} (s_{i}) = (ϕ_{i 1} (s_{i}), ϕ_{i 2} (s_{i} {))}^{T}$ 是周期为 $l_{i}$ 的周期函数， $s_{i}$ 表示轨线 $Γ_{i}$ 的弧长， $l_{i}$ 为轨线 $Γ_{i}$ 的周长，且

s_{i} = \int_{0}^{t} \sqrt[]{p_{i 1}^{2} (x_{i}^{h_{i}} (τ)) + p_{i 2}^{2} (x_{i}^{h_{i}} (τ))} d τ

= \int_{0}^{t} | p_{i} (x_{i}^{h_{i}} (τ)) | d τ

（3）

在不变环面 $Γ_{10} \times Γ_{20} = T^{2}$ 充分小的邻域内建立高维曲线坐标系 $(s_{1}, n_{1}, s_{2}, n_{2})$ ，轨线 $Γ_{i}$ 的单位切向量和法向量分别为

α_{i} = D_{s_{i}} x_{i}^{h_{i}} = | p_{i} (ϕ_{i} (s_{i})) |^{- 1} p_{i} (ϕ_{i} (s_{i}))

n_{i}^{0} = | D_{s_{i}} α_{i} |^{- 1} D_{s_{i}} α_{i}

（4）

因此，系统（1）的解曲线在新的坐标下可以表示为

x_{i} = ϕ_{i} (s_{i}) + n_{i}^{0} n_{i}

（5）

当 $ε = 0$ 时，坐标曲线 $n_{i} = 0$ 即为 $x_{i}$ 平面内的闭轨线 $Γ_{i}$ . 定义向量场在相空间 $R^{2} \times T^{2}$ 上的横截面 $Σ =$ ${s_{1}, n_{1}, s_{2}, n_{2} | s_{1} = 0}$ ，建立 $r_{0}$ 阶Poincaré映射

P^{r_{0}} : Σ \to Σ (n_{10}, s_{20}, n_{20}) \to

(n_{1} (r_{0} T), s_{2} (r_{0} T), n_{2} (r_{0} T))

（6）

其中， $s_{20} = s_{2} (0) = 0, n_{i 0} = n_{i} (0)$ （ $i = 1, 2$ ）为初值. $P^{r_{0}}$ 的不动点对应系统（1）的周期解. $(n_{10}, s_{20}, n_{20})$ 是映射 $P^{r_{0}}$ 的不动点当且仅当

P_{1}^{ε} = n_{1} (r_{0} T) - n_{10} = \int_{0}^{r_{0} T} D_{s_{1}} n_{1} \cdot {\dot{s}}_{i} d t = 0

P_{2}^{ε} = n_{2} (r_{0} T) - n_{20} = \int_{0}^{r_{0} T} D_{s_{2}} n_{2} \cdot D_{s_{1}} s_{2} \cdot {\dot{s}}_{i} d t = 0

P_{3}^{ε} = s_{2} (r_{0} T) - s_{20} = \int_{0}^{r_{0} T} D_{s_{1}} s_{2} \cdot {\dot{s}}_{1} d t = 0

（7）

关于 $ε$ 在 $ε = 0$ 处泰勒展开可得

P_{1}^{ε} = ε | p_{1} (0) |^{- 1} M_{1} + O (ε^{2})

P_{2}^{ε} = ε | p_{2} (0) |^{- 1} M_{2} + O (ε^{2})

P_{3}^{ε} = P_{3}^{0} + ε | p_{2} (0) | M_{3} + O (ε^{2})

（8）

计算可得

M_{1} = \int_{0}^{r_{0} T} (p_{1} (x_{1}^{h_{1}} (t)) \land f_{1} (t, x^{h} (t), μ)) d t

M_{2} = \int_{0}^{r_{0} T} (p_{2} (x_{2}^{h_{2}} (t)) \land f_{2} (t, x^{h} (t), μ)) d t

M_{3} = \sum_{i = 1}^{2} \int_{0}^{r_{0} T} {(- 1)}^{i} | p_{i} |^{- 2} < p_{i}, f_{i} > d t +

\sum_{i = 1}^{2} \int_{0}^{r_{0} T} {(- 1)}^{i} P_{i} \cdot \int_{0}^{t} (p_{i} \land f_{i}) d τ d t +

+ | p_{2} (0) |^{- 1} \int_{0}^{r_{0} T} \sum_{i = 1}^{2} {(- 1)}^{i} | p_{i} |^{- 2} < p_{i}, q_{i} > \times

|p_{2}| \cdot (\int_{0}^{t} | p_{1} |^{- 2} < p_{1}, f_{1} > d τ +

\int_{0}^{t} P_{1} \cdot \int_{0}^{τ} (p_{i} \land f_{i}) d η d τ) d t

其中

q_{i} = (p_{i} \cdot D p_{i 1}, p_{i} \cdot D p_{i 2})^{T}

P_{i} = | p_{i} |^{- 4} < (p_{i}, - J p_{i}) \cdot (- J p_{i}, p_{i}), D p_{i} >

运算 $a \land b = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ ， $< a, b > = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ ，这里 $a = (a_{1}, a_{2})^{T}$ ， $b = (b_{1}, b_{2})^{T}$ . 令 $M (h, t, μ) = (M_{1},$ $M_{2}, M_{3})^{T}$ 为系统的Melnikov函数，则系统（1）周期解的存在性及个数判定转变为Melnikov函数零点的存在性及个数判定问题，因此有如下定理：

定理1 设 $h_{0} = (h_{10}, h_{20}) \in K$ ， $t_{0} \in R$ ， $μ_{0} \in$ $R^{m}$ （ $m \in N^{+}$ ）.

（1）若 $M (h_{0}, t_{0}, μ_{0}) \neq 0$ ，则当 $| ε | + | μ - μ_{0} |$ 充分小时，系统（1）在 $Γ_{h_{10}} \times Γ_{h_{20}}$ 邻域内不存在周期解.

（2）若 $M (h_{0}, t_{0}, μ_{0}) = 0$ ， $D_{(h, t)} M (h_{0}, t_{0}, μ_{0})$ $\neq 0$ ，则当 $|ε| + |μ - μ_{0}|$ 充分小时，系统（1）在环面 $Γ_{h_{10}} \times Γ_{h_{20}}$ 邻域内存在唯一周期解.

定理2 设 $μ_{0} \in R^{m}$ （ $m \in N^{+}$ ）， $M (h, t, μ_{0})$ 在 $K \times R$ 内有 $k$ 个单根，则当 $| ε | +$ $| μ - μ_{0} |$ 充分小时，系统（1）必有 $k$ 个周期解. 如果 $M (h, t, μ_{0})$ 在 $K \times R$ 至多有 $k$ 个根（包括重根在内），则当 $| ε | + | μ - μ_{0} |$ 充分小时，系统（1）至多有 $k$ 个周期解.

2 负泊松比蜂窝夹层板动力学方程

本节考虑四边简支条件下长 $a$ 、宽 $b$ 、厚 $h$ 的内凹六边形蜂窝夹层板，芯层和蒙皮采用相同的各向同性铝材料制成. 在板的中面上建立直角坐标系 $O x y z$ ，设板内任一点沿 $x$ ， $y$ 和 $z$ 方向的位移分别为 $u$ ， $v$ 和 $w$ ，此板同时受沿 $z$ 轴方向的横向载荷 $F (x, y) c o s (Ω_{1} t)$ 与 $x$ 轴方向的面内载荷 $p_{0} - p_{1} c o s (Ω_{2} t)$ ，其中 $Ω_{1}$ 和 $Ω_{2}$ 分别为横向激励和面内激励的频率. 考虑负泊松比蜂窝夹层板的横向非线性振动，得到板的无量纲化的2自由度非线性运动方程如下^［

12， 18］：

{\ddot{w}}_{1} + ω_{1}^{2} w_{1} + α_{11} μ {\dot{w}}_{1} + α_{12} w_{1} c o s (Ω_{2} t) +

\sum_{r = 0}^{3} α_{1 (r + 3)} w_{1}^{3 - r} w_{2}^{r} = f_{1} c o s (Ω_{1} t)

{\ddot{w}}_{2} + ω_{2}^{2} w_{2} + α_{21} μ {\dot{w}}_{2} + α_{22} w_{2} c o s (Ω_{2} t) +

\sum_{r = 0}^{3} α_{2 (r + 3)} w_{1}^{r} w_{2}^{3 - r}

= f_{2} c o s (Ω_{1} t)

其中， $ω_{1}, ω_{2}$ 是相应线性系统的第一阶和第二阶固有频率， $μ$ 是阻尼系数， $f_{1}, f_{2}$ 表示前两阶模态的横向激励幅值， $α_{i} = {α_{i j} | j = 1, \dots, 6}$ （ $i = 1, 2$ ）表示无量纲化系数.引入如下尺度变换：

α_{i j} \to ε α_{i j}, f_{i} \to ε f_{i}

，

i = 1, 2; j = 1, \dots, 6

其中 $ε$ 为小参数. 考虑1：1内共振与主参数共振条件，其共振关系为

ω_{i}^{2} = Ω_{i}^{2} + ε σ_{i}

，

i = 1, 2

其中 $σ_{i}$ 为调谐参数，为了方便，取 $Ω_{1} = Ω_{2} = 1$ . 利用多尺度方法得到夹层板的平均方程：

\dot{x} =

Ax+F（x）

（9）

其中， $x = (x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22})^{T} \in R^{4}$ ， $A = d i a g (m_{1} J,$ $m_{2} J)$ ， $m_{i} = \frac{σ_{i}^{2} + μ^{2} α_{i 1}^{2}}{8}$ . $F = (F_{11}, F_{12}, F_{21}, F_{22})^{T}$ 是关于 $(x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22})$ 的向量值多项式函数，且

F_{i 1} = - a_{i 1} x_{i 2} + 2 a_{i 2} x_{(3 - i) 1} x_{(3 - i) 2}

+ 2 a_{i 3} x_{i 1} x_{i 2} +

a_{i 4} (x_{i 2} x_{(3 - i) 1} + x_{i 1} x_{(3 - i) 2}) +

δ_{11} (x_{(3 - i) 1}^{2} + x_{(3 - i) 2}^{2}) +

δ_{12} (x_{i 1}^{2} + x_{i 2}^{2}) +

δ_{13} (x_{i 1} x_{(3 - i) 1} + x_{i 2} x_{(3 - i) 2}) +

a_{i 17}

F_{i 2} = - 5 a_{i 1} x_{i 1} + a_{i 2} (x_{(3 - i) 1}^{2} + 3 x_{(3 - i) 2}^{2}) +

a_{i 3} (x_{i 1}^{2} + 3 x_{i 2}^{2}) +

a_{i 4} (x_{i 1} x_{(3 - i) 1} + 3 x_{i 2} x_{(3 - i) 2}) +

δ_{21} (x_{(3 - i) 1}^{2} + x_{(3 - i) 2}^{2}) +

δ_{22} (x_{i 1}^{2} + x_{i 2}^{2}) +

δ_{23} (x_{i 1} x_{(3 - i) 1} + x_{i 2} x_{(3 - i) 2}) +

a_{i 18}

式中，

δ_{k s} = \sum_{l = 1}^{2} \sum_{n = 0}^{1} {(- 1)}^{(3 - k) \times l} a_{i (l + 4 s + 2 n)} x_{p q}

p = 3 - 3 n + 2 n i - i

，

q = 6 - 3 k + 2 k l - 3 l

k = 1, 2

；

s = 1, 2, 3

系数 $a_{i j}$ $(i = 1, 2; j = 1, \dots, 18)$ 分别为

a_{i 1} = \frac{α_{i 2}^{2}}{24}

，

a_{i 2} = \frac{1}{16} (α_{i 5} f_{i} + 3 α_{i 6} f_{3 - i})

a_{i 3} = \frac{1}{16} (3 α_{i 3} f_{i} + α_{i 4} f_{3 - i})

a_{i 4} = \frac{1}{8} (α_{i 4} f_{i} + α_{i 5} f_{3 - i})

a_{i 5} = \frac{3}{8} α_{i 6} (σ_{i} + σ_{3 - i})

a_{i 6} = \frac{3}{8} μ α_{i 6} (3 α_{(3 - i) 1} - α_{i 1})

a_{i 7} = \frac{1}{4} α_{i 5} (2 σ_{i} - σ_{3 - i})

a_{i 14} = 2 a_{i 8} = \frac{1}{2} μ α_{i 5} α_{(3 - i) 1}

a_{i 9} = \frac{1}{8} α_{i 4} (3 σ_{3 - i} - σ_{i})

a_{i 16} = 2 a_{i 10} = \frac{1}{4} μ α_{i 4} (α_{i 1} + α_{(3 - i) 1})

a_{i 11} = \frac{3}{4} α_{i 3} σ_{i}

，

a_{i 12} = \frac{3}{4} μ α_{i 1} α_{i 3}

a_{i 13} = \frac{1}{2} α_{i 5} σ_{3 - i}

，

a_{i 15} = \frac{1}{4} α_{i 4} (3 σ_{i} - σ_{3 - i})

a_{i 17} = \frac{1}{16} μ α_{i 1} f_{i}

，

a_{i 18} = \frac{1}{16} σ_{i} f_{i}

引入尺度变换 $F \to ε F$ ，其中 $0 < |ε| < < 1$ ，则系统（9）可以重写为

{\dot{x}}_{i} = J D H_{i} (x_{i}) + ε F_{i} (x)

，

i = 1, 2

（10）

其中， $x_{i} = (x_{i 1}, x_{i 2})^{T} \in R^{2}$ ， $F_{i} = (F_{i 1}, F_{i 2})^{T}$ ， $H {}_{i} (x_{i})$ $= \frac{1}{2} m_{i} (x_{i 1}^{2} + x_{i 2}^{2})$ 是Hamilton函数.

3 系统的多周期运动分析及数值模拟

当 $ε = 0$ 时，系统（10）退化为两个解耦的Hamiltonian系统，那么每个系统存在一族闭轨线 $Γ_{i} =$ ${x_{i}^{h_{i}} | H_{i} (x_{i}) = h_{i}}$ （ $i = 1, 2$ ），这里 $(h_{1}, h_{2})^{T}$ $\in K \subset R^{2}$ . 假设闭轨线 $Γ_{1}$ 和 $Γ_{2}$ 的参数表示为

x_{11} = \sqrt[]{\frac{2 h_{1}}{m_{1}}} c o s (m_{1} t)

，

x_{21} = \sqrt[]{\frac{2 h_{2}}{m_{2}}} c o s (m_{2} (t + t_{0}))

x_{12} = \sqrt[]{\frac{2 h_{1}}{m_{1}}} s i n (m_{1} t)

，

x_{22} = \sqrt[]{\frac{2 h_{2}}{m_{2}}} s i n (m_{2} (t + t_{0}))

从而 $T_{1} (h_{1}) = \frac{2 π}{m_{1}}$ ， $T_{2} (h_{2}) = \frac{2 π}{m_{2}}$ . 令 $m_{2} = 2 m_{1} = 2$ ，于是可得：

M_{1} = m_{1} \int_{0}^{2 π} (x_{11} F_{11} + x_{12} F_{12}) d t

= 8 π a_{1, 12} h_{1}^{2} + 8 π a_{1, 8} h_{1} h_{2} -

4 π a_{1, 4} h_{1} \sqrt[]{h_{2}} s i n (2 t_{0}) = 0

（11）

M_{2} = m_{2} \int_{0}^{2 π} (x_{21} F_{21} + x_{22} F_{22}) d t

= 16 π a_{2, 8} h_{1} h_{2} + 4 π a_{2, 12} h_{2}^{2} -

8 π a_{2, 2} h_{1} \sqrt[]{h_{2}} s i n (2 t_{0}) = 0

（12）

M_{3} = \int_{0}^{2 π} \frac{x_{22} F_{11} - x_{21} F_{12}}{2 h_{2}} - \frac{x_{12} F_{11} - x_{11} F_{12}}{2 h_{1}} d t

= \frac{2 π}{\sqrt[]{h_{2}}} (a_{2, 2} h_{1} + a_{1, 4} h_{2}) c o s (2 t_{0}) +

π (l_{1} h_{1} + l_{2} h_{2} + 2 a_{2, 1} - 4 a_{1, 1}) = 0

（13）

其中 $l_{1} = a_{2, 13} + 2 a_{2, 7} - 4 a_{1, 11}$ ， $l_{2} = a_{2, 11} - a_{1, 13} - 2 a_{1, 7}$ ，假定 $α_{15} = α_{25} = 0$ ， $α_{11} α_{13} α_{14} α_{21} α_{23} α_{26} > 0$ ，联立（11）和（12），可得 $h_{1} = ρ h_{2}$ ， $\sqrt[]{h_{2}} = γ s i n (2 t_{0})$ ，其中 $ρ = \sqrt[]{\frac{α_{14} α_{21} α_{23}}{6 α_{11} α_{13} α_{26}}}$ ， $γ = \frac{α_{14} f_{1}}{12 μ α_{11} α_{13} ρ}$ .将其代入方程（13），得

ϕ (y) = (A^{2} + B^{2}) y^{4} - (B^{2} - 2 A C) y^{2} + C^{2} = 0

（14）

其中， $y = s i n (2 t_{0})$ ， $A = (l_{1} ρ + l_{2}) γ^{2}$ ， $B = 2 (a_{2, 2} ρ + a_{1, 4}) γ$ ， $C = 2 a_{2, 1} - 4 a_{1, 1}$ ，系统周期解的个数由方程（14）实数解的个数决定，当 $B^{2} - 4 A C - 4 C^{2} \geq 0$ 时，系统存在周期解：当 $B \neq 0$ ，且 $B^{2} - 4 A C - 4 C^{2} = 0$ 或 $C = 0$ 时，存在2个周期解；而当 $B^{2} - 4 A C - 4 C^{2} > 0$ 且 $C \neq 0$ 时，存在4个周期解.

选取参数条件 $P C = {μ, σ_{1}, σ_{2}, α_{1}, α_{2}}$ 如下：

{μ, σ_{1}, σ_{2}} = {0.2, 2, 0}

α_{1} = (10, 2, - 2, - 1, 0, 1)

α_{2} = (20, 1, - 6, 1, 0, - 0.5)

在参数条件 $P C$ 下，可计算

ρ = \sqrt[]{2}

，

γ = \frac{\sqrt[]{2}}{96} f_{1}

，

A = \frac{\sqrt[]{2}}{384} f_{1}^{2}

B = - \frac{3 + 2 \sqrt[]{2}}{768} f_{1}^{2}

，

C = - \frac{7}{12}

函数 $ϕ (y)$ 的图像如图1所示，其中 $f_{10} = 8 \sqrt[]{672 - 476 \sqrt[]{2} + 14 \sqrt[]{4633 - 3276 \sqrt[]{2}}}$ 是临界参数值. 当 $| f_{1} | < f_{10}$ 时，系统不存在周期解；当 $| f_{1} | = f_{10}$ 时，系统存在2个周期解；当 $| f_{1} | > f_{10}$ 时，系统存在4个周期解.

图1 函数 $ϕ (y)$ 的图像， $f_{10}$ 为临界参数值

Fig.1 The graph of $ϕ (y)$ ， with $f_{10}$ being a critical parameter value

利用Matlab软件进行数值模拟，验证面内与横向载荷联合作用下1：1内共振负泊松比蜂窝夹层板存在多周期运动，如图2和图3所示.图2表示当横向激励参数 $f_{1} = f_{10}$ 时，负泊松比蜂窝夹层板系统存在2个周期轨道，其中，图2（a）表示周期轨道在平面 $(x_{12}, x_{22})$ 上的投影，图2（b）表示周期轨道在空间 $(x_{11}, x_{21}, x_{22})$ 上的投影.图3表示当横向激励参数 $f_{1} = 12$ （ $> f_{10}$ ）时，负泊松比蜂窝夹层板系统存在4个周期轨道，其中，图3（a）表示周期轨道在平面 $(x_{12}, x_{22})$ 上的投影，图3（b）表示周期轨道在空间 $(x_{11}, x_{21}, x_{22})$ 上的投影.

图2 $f_{1} = f_{10}$ 时，系统存在2个周期轨道

Fig.2 Two periodic orbits with $f_{1} = f_{10}$

图3 $f_{1} = 12$ 时，系统存在4个周期轨道

Fig.3 Four periodic orbits with $f_{1} = 12$

4 结论

本文通过建立曲线坐标与Poincaré映射，发展了高维Melnikov方法研究一类四维含参非线性动力系统的多周期解分岔问题，得到系统多周期解的存在性及个数判定定理，并将理论结果应用于研究负泊松比蜂窝夹层板在面内激励与横向激励共同作用下的多周期运动等复杂非线性动力学行为. 探讨了系统存在的周期轨道的个数及其相应的参数控制条件，利用数值方法对负泊松比蜂窝夹层板的多周期运动进行模拟，验证理论结果的正确性.

负泊松比蜂窝夹层结构由于其独特的性能与优势，广泛应用于航空航天、国防等领域中.服役过程中出现，大幅的非线性振动会对结构造成严重损害，甚至危害人们的健康.研究负泊松比蜂窝夹层板模型多周期解的存在性、个数及相应的参数控制条件，可以为其在实际工程应用中的非线性振动控制与优化设计提供相应的理论指导.

参考文献

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负泊松比蜂窝夹层板的多周期运动研究

摘要

关键词

引言

1 Melnikov方法与多周期解存在性理论

2 负泊松比蜂窝夹层板动力学方程

3 系统的多周期运动分析及数值模拟

4 结论

参考文献

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负泊松比蜂窝夹层板的多周期运动研究

摘要

关键词

引言

1 Melnikov方法与多周期解存在性理论

2 负泊松比蜂窝夹层板动力学方程

3 系统的多周期运动分析及数值模拟

4 结论

参 考 文 献

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