二阶多智能体系统的线性广义一致性

柴洁; 过榴晓; 陈晶; 陈良康; Chai Jie; Guo Liuxiao; Chen Jing; Chen Liangkang

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摘要

首次针对二阶多智能体系统提出广义一致性的概念；然后探讨有向网络拓扑结构下的二阶多智能体系统的线性广义一致性问题.通过设计有效的控制协议，使用代数图论和稳定性理论，推导获得二阶的多智能体系统以及带有通信延迟的二阶系统实现线性广义一致性的充分且必要条件.结果表明，在有向网络中，耦合增益参数和拉普拉斯矩阵的特征值对达到广义一致起着关键作用；最后，数值仿真验证了结果的正确性.

关键词

二阶多智能体系统; 有向网络拓扑; 线性广义一致性; 通信延迟

引言

近年来，随着人工智能技术的快速发展和在实际生活中的广泛应用，多智能体系统研究吸引了越来越多各领域学者们的兴趣.而一致性作为多智能体系统协调控制中最基本的问题之一，受到许多热切的关注.

目前，大多数文献是研究多智能体网络系统的完全一致性^［

1.2］，即多个智能体组成的系统在控制协议的作用下，它的状态变量（如位移、速度等）逐渐趋同.一些学者从另外的角度出发，考虑智能体之间存在性能和合作任务上的差异，研究了多智能体系统的非精确一致性问题及其变种，比如文献［3-5］研究了群一致性问题，即智能体被分为多个群体，同一群体内的信息收敛到一致，不同群体间的一致状态可以不同.文献［6］提出一阶非线性领导-跟随多智能体系统的部分分量一致性的概念，文献［7］进一步讨论了二阶多智能体系统的部分状态量一致性问题.文献［8］考虑了蜂拥控制的特殊群集问题，相对群一致性还要考虑蜂拥系统中的分离和聚合两个原则.而在一些特殊的任务和环境中，个体之间还需要达到和保持预先给定的队形，同时又要适应环境约束，这是多智能体系统协调控制中的编队控制问题^{［参考文献 9

百度学术}9］，它与一致性有着密切的关系.

典型的多智能体系统非精确一致性为广义一致性.文献［

10-13］研究了复杂网络的广义同步现象，即耦合系统的动力学之间存在某种已知或未知的函数关系.在此基础上，文献［14］提出了线性和非线性的一阶多智能体系统广义一致性的定义.由上述文献的启发，本文拟将一阶多智能体系统的广义一致性概念推广到二阶多智能体系统，理论推导二阶多智能体系统实现线性广义一致的充分必要条件，进一步，参考文献［15-20］中对通信协议的信号延时的存在对系统多智能体实现一致性控制的影响和条件的分析，给出了二阶多智能体系统最大容许时滞与固定拓扑图的Laplacian矩阵特征值之间的关系.

事实上，广义一致性是一个更自然的概念，也是作为多智能体系统输出一致性的一种特例.广义一致性能够更自然地描述由多个相互作用分量组成的生物和物理系统中的一些相干现象，具有一定的理论意义和实践价值.本文考虑二阶多智能体系统实现广义一致性问题，理论和数值实验讨论非延迟和延迟通信控制协议下的系统实现线性广义一致性的充分必要条件，通过多个仿真实例验证了结果的正确性.

1 问题描述

1.1　预备知识

令 $G = (V, E, A)$ 表示一个有向加权图，其中， $V = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{N}}$ 表示图 $G$ 的节点集合， $E \subseteq V \times V$ 为有向边集合， $A = (a_{i j})_{N \times N}$ 为图 $G$ 加权邻接矩阵.若 $(v_{i}, v_{j}) \in E$ ， $a_{i j} > 0$ ，否则 $a_{i j} = 0$ .拉普拉斯矩阵 $L$ 定义为： $L_{i i} = - \sum_{j = 1, j \neq i}^{N} L_{i j}, L_{i j} = - a_{i j}$ ，若节点 $v_{i}, v_{j}$ 之间存在一系列有序的边 $(v_{i}, v_{l}), (v_{l}, v_{p}), \dots, (v_{q}, v_{j})$ ，则称其为节点 $v_{i}$ 到 $v_{j}$ 的有向路径，并称 $v_{i}, v_{j}$ 为子父节点.在一个有向图中，若除了根节点外，其它每个节点都有且仅有一个父节点，则称该有向图为有向树.在有向图中，若可以找到一个连接所有节点的有向树，则称该有向树含有一生成树.

以下是本文使用的符号：令 $I_{N} (0_{N})$ 表示 $N$ 维单位（零）矩阵， $1_{N} \in R^{N} (0_{N} \in R^{N})$ 表示所有元素都是1（0）的向量， $d i a g (\cdot)$ 表示对角矩阵， $R e (λ)$ 和 $I m (λ)$ 分别表示特征值 $λ$ 的实部和虚部， $\otimes$ 表示矩阵或向量的克罗内克积.对于复数 $a$ ， $‖a‖ = \sqrt[]{R e {(a)}^{2} + I m {(a)}^{2}}$ .

1.2　模型描述

设有 $N$ 个一阶智能体系统，每个智能体的动态方程为：

{\dot{x}}_{i} (t) = u_{i} (t), i = 1,2, \dots, N

（1）

其中 $x_{i} (t) \in R^{n}$ 表示在 $t$ 时刻第 $i$ 个智能体的位置状态.对于任意初始条件 $x_{i} (0) \in R, i = 1,2 . . . N$ ，如果 $\underset{t \to \infty}{l i m} ‖h_{j} (x_{j} (t)) - h_{i} (x_{i} (t))‖ = 0,$ 即认为系统（1）能够实现广义一致性， $h_{i} (x_{i})$ 为光滑、可逆的函数.设计相应的控制协议^［

14］：

u_{i} (t) = α (h_{i}^{^{'}} {(x))}^{- 1} \sum_{j = 1, j \neq i}^{N} a_{i j} [h_{j} (x_{j} (t)) - h_{i} (x_{i} (t))]

如果对于所有的 $i = 1,2, \dots, N$ ， $h_{i} (x) = x / k_{i}, k_{i} \neq 0$ ，则称系统（1）实现线性广义一致性，如果至少存在一个 $h_{i} (x)$ 为非线性的，就称系统（1）实现了非线性广义一致性.

进一步，本文讨论 $N$ 个智能体的二阶多智能体系统，各智能体的动态方程为：

\{\begin{matrix} {\dot{x}}_{i} (t) = v_{i} (t) \\ {\dot{v}}_{i} (t) = u_{i} (t) \end{matrix} i = 1,2, \dots, N

（2）

这里 $x_{i} (t), v_{i} (t) \in R^{n}$ 分别表示在 $t$ 时刻第 $i$ 个智能体的位置和速度的状态量.如果 $\underset{t \to \infty}{l i m} ‖x_{j} (t) - x_{i} (t)‖ = 0$ ，且 $\underset{t \to \infty}{l i m} ‖v_{j} (t) - v_{i} (t)‖ = 0$ ，对任意的 $i, j = 1,2, \dots, N$ 都成立，则称系统（2）能够实现二阶一致性.

现在把文献［

14］中一阶多智能体系统的广义一致性定义推广到了二阶情形.

定义1 对于任意初始条件 $x_{i} (0) \in R, v_{i} (0) \in R$ ， $i, j = 1,2, \dots, N$ ，如果满足

\underset{t \to \infty}{l i m} ‖h_{j} (x_{j} (t)) - h_{i} (x_{i} (t))‖ = 0

，

\underset{t \to \infty}{l i m} ‖h_{j} (v_{j} (t)) - h_{i} (v_{i} (t))‖ = 0

则称二阶多智能体系统（2）实现广义一致性.

简单起见，本文只研究线性的广义一致性问题.

定义2 对于任意初始条件 $x_{i} (0) \in R, v_{i} (0) \in R$ ， $i, j = 1,2 . . . N$ ，如果满足

\underset{t \to \infty}{l i m} ‖x_{j} (t) / k_{j} - x_{i} (t) / k_{i}‖ = 0

，

\underset{t \to \infty}{l i m} ‖v_{j} (t) / k_{j} - v_{i} (t) / k_{i}‖ = 0

则二阶多智能体系统（2）关于参数 $k_{i}$ ， $i = 1,2, \dots, N$ 实现线性的广义一致性.

注1 当参数 $k_{i}$ ， $i = 1,2, \dots, N$ 为若干组不同但组内相同的参数，则二阶系统可实现分组一致状态.更特殊的，当参数 $k_{i}$ ， $i = 1,2, \dots, N$ 有两组，分别为1和-1，即二阶系统达到竞争与合作^［

15］的反分组状态.所以，本文提出的二阶多智能体系统线性广义一致概念可视为更一般的情形.

设计控制协议如下：

\begin{array}{l} u_{i} (t) = α k_{i} \sum_{j = 1, j \neq i}^{N} a_{i j} [x_{j} (t) / k_{j} - x_{i} (t) / k_{i}] + \\ β k_{i} \sum_{j = 1, j \neq i}^{N} a_{i j} [v_{j} (t) / k_{j} - v_{i} (t) / k_{i}] \end{array}

（3）

其中， $k_{i}$ ， $i = 1,2, \dots, N$ .为 $N$ 个非零常数. $α, β$ 表示耦合参数.由式（2），式（3）和拉普拉斯矩阵的定义，系统等价表示为：

\{\begin{array}{l} {\dot{x}}_{i} (t) = v_{i} (t) \\ {\dot{v}}_{i} (t) = - α k_{i} \sum_{j = 1}^{N} L_{i j} x_{j} (t) / k_{j} - β k_{i} \sum_{j = 1}^{N} L_{i j} v_{j} (t) / k_{j} \end{array}

（4）

令 $x = (x_{1}^{T}, x_{2}^{T}, \dots, x_{N}^{T})^{T}$ ， $v = (v_{1}^{T}, v_{2}^{T}, \dots, v_{N}^{T})^{T}$ ， $z = (x^{T}, v^{T})^{T}$ .系统（4）矩阵形式为：

\dot{z} (t) = (\bar{L} \otimes I_{n}) z (t)

（5）

其中， $\bar{L} = (\begin{matrix} 0_{N} & I_{N} \\ - α K^{- 1} L K & - β K^{- 1} L K \end{matrix})$ ，

K = D i a g (\frac{1}{k_{1}}, \frac{1}{k_{2}}, \dots, \frac{1}{k_{N}})

2 主要结果

2.1　无通信延迟情形

本节将研究系统（5）关于参数 $k_{i}$ 的线性广义一致性的实现与耦合参数 $α, β$ 及拉普拉斯矩阵 $L$ 的特征值之间的关系.令 $u_{i j} (i = 1,2, \dots, N; j = 1,2)$ ，分别表示矩阵 $\bar{L}$ 和拉普拉斯矩阵 $L$ 的特征值.

引理1 ^［

21］拉普拉斯矩阵

L

有一个0的特征值，并且其它特征值均有正实部，当且仅当有向图

G

包含一个有向生成树.

引理2 ^［

22］二阶多智能体（5）能够实现线性广义一致性，当且仅当矩阵

\bar{L}

含有一个特征值0（二重），并且其它特征值含有负实部.此外，如果二阶线性广义一致性实现，则当

t \to \infty

时有：

‖x_{i} (t) / k_{i} (t) - \sum_{j = 1}^{N} ξ_{j} x_{j} (0) / k_{j} - \sum_{j = 1}^{N} ξ_{j} v_{j} (0) t / k_{j}‖ \to 0

‖v_{i} (t) / k_{i} - \sum_{j = 1}^{N} ξ_{j} v_{j} (0) / k_{j}‖ \to 0

这里 $ξ$ 是拉普拉斯矩阵 $L$ 关于特征值0的唯一非负左特征向量，满足 $ξ^{T} 1_{N} = 0$ .

证明作如下变换： ${\bar{x}}_{i} = x_{i} / k_{i}$ ， ${\bar{v}}_{i} = v_{i} / k_{i}$ ， $\bar{x} = ({\bar{x}}_{1}^{T}, {\bar{x}}_{2}^{T}, \dots, {\bar{x}}_{N}^{T})^{T}$ ， $\bar{v} = ({\bar{v}}_{1}^{T}, {\bar{v}}_{2}^{T}, \dots, {\bar{v}}_{N}^{T})^{T}$ ， $\bar{z} = ({\bar{x}}^{T}, {\bar{v}}^{T})^{T}$ ，则系统（4）或者（5）可以写成：

\overset{\cdot}{\bar{z}} (t) = (\tilde{L} \otimes I_{N}) \bar{z} (t)

其中， $\tilde{L} = (\begin{matrix} 0_{N} & I_{N} \\ - α L & - β L \end{matrix})$ .后续证明同参考文献［

15］.

定理1 二阶多智能体系统（5）实现线性广义一致性，当且仅当：

1）有向图 $G$ 包含一个有向生成树；

2） $\frac{β^{2}}{α} > \underset{2 \leq i \leq N}{m a x} \frac{I m^{2} (λ_{i})}{R e (λ_{i}) {‖λ_{i}‖}^{2}}$ ；

3）

K

为可逆矩阵，即

k_{i} \neq 0

，

i = 1,2, \dots, N

（6）

证明作矩阵 $\bar{L}$ 的特征多项式：

|u I_{2 N} - \bar{L}| = |\begin{matrix} u I_{N} & - I_{N} \\ α K^{- 1} L K & u I_{N} + β K^{- 1} L K \end{matrix}|

由于 $K$ 可逆且与 $K^{- 1} L K$ 相似，故特征值相同，所以，

|u^{2} I_{N} + (α + β u) K^{- 1} L K| = \prod_{i = 1}^{N} (u^{2} + (α + β u) λ) = 0

求解可得：

\begin{array}{l} u_{i 1} = \frac{- β λ_{i} + \sqrt[]{β^{2} λ_{i}^{2} - 4 a λ_{i}}}{2} \\ u_{i 2} = \frac{- β λ_{i} - \sqrt[]{β^{2} λ_{i}^{2} - 4 a λ_{i}}}{2} (i = 1,2, \dots, N) \end{array}

（7）

这里 $λ_{i} (i = 1,2, \dots, N)$ 表示拉普拉斯矩阵 $L$ 的特征值.

由此可知：矩阵 $L$ 有一个代数重数为 $m$ 的0特征值，当且仅当矩阵 $\bar{L}$ 有一个代数重数为 $2 m$ 的0特征值.由引理1和引理2，只需要证明： $R e (λ_{i}) > 0, (i = 2,3, \dots, N)$ ，且条件2）成立，当且仅当 $R e (u_{i j}) < 0, (i = 2,3, \dots, N; j = 1,2)$ .

令 $\sqrt[]{β^{2} {λ_{i}}^{2} - 4 a λ_{i}} = c + i d$ ， $c$ 和 $d$ 是实数， $i$ 是虚数单位.由（8）式知 $R e (u_{i j}) < 0$ ，当且仅当 $c^{2} < β^{2} R e^{2} (λ_{i}), i = 2,3, \dots, N$ .

下证条件2）成立，当且仅当 $c^{2} < β^{2} R e (λ_{i})$ 时，由 $\sqrt[]{β^{2} {λ_{i}}^{2} - 4 a λ_{i}} = c + i d$ 知： $β^{2} {λ_{i}}^{2} - 4 α λ_{i} = {(c + i d)}^{2}$ .将 $λ^{2} = R e^{2} (λ) - I m^{2} (λ) + 2 R e (λ) I m (λ)$ ，代入展开，并分离实部和虚部：

c^{2} - d^{2} = β^{2} [R e^{2} (λ_{i}) - I m^{2} (λ_{i})] - 4 α R e (λ_{i})

c d = β^{2} R e (λ_{i}) I m (λ_{i}) - 2 α I m (λ_{i})

消除 $d$ 可得到

\begin{array}{l} c^{4} - {β^{2} [R e^{2} (λ_{i}) - I m^{2} (λ_{i})] - 4 α R e (λ_{i})} c^{2} - \\ I m^{2} (λ_{i}) [β^{2} R e (λ_{i} {) - 2 α]}^{2} = 0 \end{array}

即

\begin{array}{l} c^{2} = 1 / 2 {β^{2} [R e^{2} (λ_{i}) - I m^{2} (λ_{i})] - 4 α R e (λ_{i})} \pm \\ 1 / 2 \sqrt[]{\begin{array}{l} {β^{2} [R e^{2} (λ_{i}) - I m^{2} (λ_{i})] - 4 α R e (λ_{i} {)}}^{2} \\ + 4 I m^{2} (λ_{i}) [β^{2} R e (λ_{i} {) - 2 α]}^{2} \end{array}} \\ < β^{2} R e (λ_{i}) \\ \Leftrightarrow β^{2} R e (λ_{i}) [R e^{2} (λ_{i}) + I m^{2} (λ_{i})] > α I m^{2} (λ_{i}) \\ \Leftrightarrow \frac{β^{2}}{α} > \underset{2 \leq i \leq N}{m a x} \frac{I m^{2} (λ_{i})}{R e (λ_{i}) {‖λ_{i}‖}^{2}} \end{array}

证毕.

注2 由定理1知，耦合参数 $α, β$ 及拉普拉斯矩阵 $L$ 的特征值对系统一致性的实现起着十分重要的作用，且若 $h_{i} (x)$ 是线性函数，即 $h_{i} (x) = x / k_{i}$ ， $k_{i} \neq 0$ ，则理论上系统线性广义一致性的实现与 $k_{i}$ 的取值无关.

2.2　有通信延迟情形

在系统（2）中，假设设计控制协议中带有通信延时：

u_{i} (t) = - α k_{i} \sum_{j = 1}^{N} L_{i j} x_{j} (t - τ) / k_{j} - β k_{i} \sum_{j = 1}^{N} L_{i j} v_{j} (t - τ) / k_{j}

（8）

这里， $τ > 0$ 为时间延迟常数.令

x (t) = (x_{1}^{T} (t), x_{2}^{T} (t), . . ., x_{N}^{T} {(t))}^{T}

，

v (t) = (v_{1}^{T} (t), v_{2}^{T} (t), \dots, v_{N}^{T} {(t))}^{T}

，

z (t) = (x^{T} (t), v^{T} {(t))}^{T}

则系统（2）和（8）的等价矩阵形式为：

\dot{z} (t) = ({\bar{L}}_{1} \otimes I_{n}) z (t) + ({\bar{L}}_{2} \otimes I_{n}) z (t - τ)

（9）

这里，

{\bar{L}}_{1} = (\begin{matrix} 0_{N} & I_{N} \\ 0_{N} & 0_{N} \end{matrix})

，

{\bar{L}}_{2} = (\begin{matrix} 0_{N} & 0_{N} \\ - α K^{- 1} L K & - β K^{- 1} L K \end{matrix})

，

K = D i a g (\frac{1}{k_{1}}, \frac{1}{k_{2}}, \dots, \frac{1}{k_{N}})

计算系统（9）的特征方程为

\begin{array}{l} |u I_{2 N} - {\bar{L}}_{1} - e^{- u τ} {\bar{L}}_{2}| \\ = |\begin{matrix} u I_{N} & - I_{N} \\ α e^{- u τ} K^{- 1} L K & u I_{N} + β e^{- u τ} K^{- 1} L K \end{matrix}| \\ = \prod_{i = 1}^{N} (u^{2} + (α + β u) e^{- u τ} λ_{i}) = 0 \end{array}

令

g_{i} (u) = \prod_{i = 1}^{N} (u^{2} + (α + β u) e^{- u τ} λ_{i})

，

g (u) = \prod_{i = 1}^{N} g_{i} (u)

由系统（9）的特征方程很容易得出： $L$ 有一个代数重数为 $m$ 的0特征值.当且仅当 $g (u) = 0$ 有一个 $2 m$ 重零根.给出以下3个引理：

引理3 ^［

22］假设有向图

G

包含一个有向生成树，那么

g (u) = 0

有一个纯虚根，当且仅当

τ \in ψ = {\frac{1}{ω_{i 1}} (2 k π + θ_{i 1}) | i = 2,3, \dots, N; k = 0,1, \dots}

.这里的

θ_{i 1} \in [0,2 π)

，

i = 2,3, \dots, N

，并且满足

c o s θ_{i 1} = [R e (λ_{i}) α - I m (λ_{i}) ω_{i 1} β] / ω_{i 1}^{2}

，

s i n θ_{i 1} = [R e (λ_{i}) ω_{i 1} β + I m (λ_{i}) α] / ω_{i 1}^{2}

ω_{i 1} = \sqrt[]{({‖λ_{i}‖}^{2} β^{2} + \sqrt[]{{‖λ_{i}‖}^{4} β^{4} + 4 {‖λ_{i}‖}^{2} α^{2}}) / 2}

引理4 ^［

23］对于指数多项式

\begin{array}{l} P (u, e^{- u τ_{1}}, . . ., e^{- u τ_{m}}) = \\ u^{n} + [p_{1}^{(0)} u^{n - 1} + \dots + p_{n - 1}^{(0)} u + p_{n}^{(0)}] + \\ [p_{1}^{(1)} u^{n - 1} + \dots + p_{n - 1}^{(1)} u + p_{n}^{(1)}] e^{- u τ_{1}} + \dots + \\ [p_{1}^{(m)} u^{n - 1} + \dots + p_{n - 1}^{(m)} u + p_{n}^{(m)}] e^{- u τ_{m}} \end{array}

其中， $τ_{i} \geq 0 (i = 1,2, \dots, m)$ ， $p_{j}^{(i)} (i = 0,1, \dots, m;$ $j = 1,2, \dots, n)$ 是常数.随着 $(τ_{1}, τ_{2}, \dots, τ_{m})$ 变化，只要零点出现在虚轴上或穿过虚轴，指数多项式 $P (u, e^{- u τ_{1}}, \dots, e^{- u τ_{m}})$ 的零点在右半平面上的阶之和会发生改变.

引理5 ^［

22］假设有向图

G

包含一个有向生成树.

u

是

g_{i} (u) = 0

，

2 \leq i \leq N

的解，那么当

τ \in ψ

时，

d u / d τ

存在，并且

R e (d u / d τ) |_{τ \in ψ} > 0

定理2 假设有向图 $G$ 包含一个有向生成树.且满足定理1中的条件2）和3），则带有通信延时的二阶多智能体系统（9）实现线性广义一致性，当且仅当 $τ < τ_{0} = \underset{2 \leq i \leq N}{m i n} \{\frac{θ_{i 1}}{ω_{i 1}}\}$ . $θ_{i 1} \in [0,2 π)$ ， $i = 2,3, \dots, N$ ，满足：

c o s θ_{i 1} = [R e (λ_{i}) α - I m (λ_{i}) ω_{i 1} β] / ω_{i 1}^{2}

，

s i n θ_{i 1} = [R e (λ_{i}) ω_{i 1} β + I m (λ_{i}) α] / ω_{i 1}^{2}

其中，

ω_{i 1} = \sqrt[]{({‖λ_{i}‖}^{2} β^{2} + \sqrt[]{{‖λ_{i}‖}^{4} β^{4} + 4 {‖λ_{i}‖}^{2} α^{2}}) / 2}

，

$λ_{i} (i = 2,3, \dots, N)$ 是拉普拉斯矩阵 $L$ 的非零特征值.

证明因为有向图 $G$ 包含一个有向生成树，并且满足定理1中的2）、3）式，故由定理1知，当 $τ = 0$ 时，系统（9）能够实现线性广义一致性.再由引理2知 $g (u) = 0$ 含有一个零根（二重），并且其它根含有负实部.当 $τ$ 从0变化到 $τ_{0}$ 时，由引理3知一个纯虚根会出现.由引理4和引理5知，当 $0 \leq τ < τ_{0}$ 时， $g (u) = 0$ 有一个零根（二重），且其它根含有负实部，系统（9）实现线性广义一致性，而当 $τ > τ_{0}$ 时，至少存在一个具有正实部的根，故当 $τ > τ_{0}$ 时无法实现一致性.证毕.

注3 定理2在定理1的基础上给出了延迟通信的二阶多智能体系统满足线性广义一致性的充要条件，即延迟参数 $τ$ 要小于一个临界值，且给出了这个最小临界值 $τ_{0}$ 的具体求法.由于 $τ_{0}$ 的求解与拉普拉斯矩阵 $L$ 特征值的实部与虚部有关，实际特征值的精度对 $τ_{0}$ 的计算影响很大，所以，实际操作中，可以适当提高计算精度，减少误差带来的影响.

3 数值仿真

3.1　系统无时延情形

假设系统（5）中 $N = 5$ ， $n = 1$ ，取 $α = 0.1$ ，非零线性广义参数 $k_{i} = (i = 1,2, \dots, 5)$ 分别取值：-2， -1，1，2，3.有向加权图 $G$ 如图1所示，对应拉普拉斯矩阵 $L$ 为：

L = (\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 & - 2 \\ - 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

图1 有向加权图 $G$

Fig.1 Directed weighted graph $G$

特征值分别为0，1，2， $2 + i$ ， $2 - i$ .由定理1条件计算可得， $β > 0.1$ 时系统（5）能够实现线性广义一致性.当 $β = 0.15$ 时系统的状态轨迹如图2所示，图2中分别表示系统的位置状态和速度状态.全局误差演化如图3所示，由全局位置误差 $e_{x} (t) = \sqrt[]{\sum_{i = 1}^{N - 1} {(x_{i} (t) / k_{i} - x_{i + 1} (t) / k_{i + 1})}^{2}} \to 0$ 和全局速度误差 $e_{v} (t) = \sqrt[]{\sum_{i = 1}^{N - 1} {(v_{i} (t) / k_{i} - v_{i + 1} (t) / k_{i + 1})}^{2}} \to 0$ 知系统（5）能够实现线性广义一致性.若当 $β = 0.05$ 不满足定理1条件，此时全局位置误差和速度误差均不为0（见图4），即系统（5）无法达到线性广义一致性.

图2 当 $α = 0.1, β = 0.15$ 时系统位置和速度状态轨迹图

Fig.2 Position and velocity state trajectory of the system with $α = 0.1, β = 0.15$

图3 当 $α = 0.1, β = 0.15$ 时系统全局误差演化图

Fig.3 Evolution of the system global error with $α = 0.1, β = 0.15$

图4 当 $α = 0.1, β = 0.05$ 时系统全局误差演化图

Fig.4 The Evolution of the system global error with $α = 0.1, β = 0.05$

3.2　系统有时延情形

系统（9）中取参数 $N = 5$ ， $n = 1$ ， $α = 0.1$ ， $β = 0.5$ ，非零线性广义参数和连接拓扑图同上.由定理2计算可得控制协议中最大时间延迟 $τ_{0} = 0.822$ .当 $τ = 0.7$ 时，多智能体在各自参数下的投影状态轨迹如图5所示，系统（9）能够实现关于参数的线性广义一致性.而当 $τ = 0.9$ 不满足定理2的充要条件，此时由图6可知系统（9）不能达到线性广义一致性.

图5 当 $α = 0.1, β = 0.5, τ = 0.7$ 时系统位置和速度状态轨迹图

Fig.5 The position and velocity state trajectory of the system with $α = 0.1, β = 0.5, τ = 0.7$

图6 当 $α = 0.1, β = 0.5, τ = 0.9$ 时系统位置和速度状态轨迹图

Fig.6 The position and velocity state trajectory of the system with $α = 0.1, β = 0.5, τ = 0.9$

4 小结

本文研究了二阶多智能体系统关于多参数的线性广义一致性，在有向网络拓扑结构下设计了有效的控制协议，获得了系统在有时延和无时延两种情况下实现线性广义一致性的充分必要条件，并运用代数图论和稳定性等理论给出了证明.在接下来的工作中作者将讨论二阶多智能体系统的非线性广义一致性以及广义群一致性等问题.

参考文献

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二阶多智能体系统的线性广义一致性

摘要

关键词

引言

1 问题描述

1.1　预备知识

1.2　模型描述

2 主要结果

2.1　无通信延迟情形

2.2　有通信延迟情形

3 数值仿真

3.1　系统无时延情形

3.2　系统有时延情形

4 小结

参考文献

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二阶多智能体系统的线性广义一致性

摘要

关键词

引言

1 问题描述

1.1 预备知识

1.2 模型描述

2 主要结果

2.1 无通信延迟情形

2.2 有通信延迟情形

3 数值仿真

3.1 系统无时延情形

3.2 系统有时延情形

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1.1　预备知识

1.2　模型描述

2.1　无通信延迟情形

2.2　有通信延迟情形

3.1　系统无时延情形

3.2　系统有时延情形