雾化器转轴振动特性研究

尹自超; 李明; 陈波; 李映辉; Yin Zichao; Li Ming; Chen Bo; Li Yinghui

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摘要

在考虑陀螺力矩、转动惯量和剪切效应等影响因素下，采用Timoshenko梁理论并结合传递矩阵法给出了雾化器转轴的振动特性的计算方法.数值仿真部分采用二节点梁单元建立了雾化器转轴的有限元模型，并进行模拟，其结果验证了本文方法的有效性和高精度，讨论了转速、雾化轮质量以及陶瓷约束刚度等参数对雾化器转轴振动特性的影响.

关键词

陀螺力矩; Timoshenko梁; 传递矩阵; 参数化分析; 振动特性

2019-11-04收到第1稿，2019-12-29收到修改稿.

引言

喷雾干燥技术在相关产业已广泛运用^［

1-3］.国内常用的雾化形式有气流喷嘴式雾化、压力式喷嘴雾化和旋转式雾化，其中旋转式喷雾器在工业上运用最广泛^{［参考文献 4

百度学术}4］.转轴是旋转式喷雾器的重要部件，其转速可达（1~4）×10⁴ r/min，此转速范围已超过一阶临界转速，甚至达到二、三阶临界转速^{［参考文献 1

百度学术}1］.为解决转轴位于临界转速时的共振问题，唐等^{［参考文献 5

百度学术}5］基于传统的两点支撑模型提出了三点支撑模型.黄等^{［参考文献 6

百度学术}6］对三点支撑轴系进行了数值研究，给出了轴承在工作转速下振动节点的布置原则，有效避开了转轴的临界共振点.传递矩阵法在转子动力学发展史上占有重要地位，霍尔兹（Holzer）利用传递矩阵法解决了多圆盘转子扭振问题的初参数法^{［参考文献 7

百度学术}7］，而梅克斯泰德（Myklestad）和蒲尔（Prohl）将传递矩阵法用于求解转子的弯曲振动问题^{［参考文献 8

百度学术}8，9］。传递矩阵法具有占用空间小，算法简洁，矩阵维数不随系统自由度的增加而增大等优点，使其成为解决转子动力学问题的一个快速而有效的方法.

目前文献中未见讨论转速、雾化轮质量以及约束刚度等参数对转轴振动特性的综合影响，本文将综合考虑以上因素对雾化器转轴振动特性进行分析.

1 雾化器转轴模型

对图1（a）所示雾化器结构，为研究其转轴振动特性，可将雾化器转轴简化为图1（b）示由转轴、上下轴承约束、陶瓷约束和雾化轮组成的系统.将质量连续分布的转轴离散为有n个集中质量的自由度系统，相邻两节点用无质量的弹性轴段连接，上下轴承约束和陶瓷约束简化为刚度分别为k₁、k₂和k₃的支撑弹簧，上下轴承间距为L，雾化轮简化为集中质量m^（^d^），如图1（c）所示.

(a) 雾化器转轴结构

(a) Atomizer shaft structure

(b) 转轴简化

(b) Shaft simplified (c)Rotary shaft

图1 雾化器转轴结构和简化图

Fig.1 Atomizer shaft structure and simplified diagram

1—上轴承约束；2—转轴；3—下轴承约束；4—陶瓷约束；5—雾化轮

1—Upper bearing constraint；2—Rotating shaft；3—Lower bearing constraint；4—Ceramic constraint；5—Atomizing wheel

2 计算原理

2.1　等效质量与转动惯量

(a) 等截面

(a) Uniform cross section

(b) 变截面

(b) Variable cross section

图2 等截面和变截面轴段的质量和转动惯量

Fig.2 Mass and moment of inertia of equal and variable cross section

对图2（a）所示等截面轴段的质量及转动惯量为：

\begin{array}{l} m_{j} = m_{j}^{(d)} + \frac{1}{2} {(u l)}_{j - 1} + \frac{1}{2} {(u l)}_{j}, J_{p j} = J_{p j}^{(d)} + \frac{1}{2} (j_{p} {l)}_{j - 1} + \frac{1}{2} (j_{p} {l)}_{j} \\ J_{d j} = J_{d j}^{(d)} + {(\frac{1}{2} j_{d} l - \frac{1}{12} u l^{3})}_{j - 1} + {(\frac{1}{2} j_{d} l - \frac{1}{12} u l^{3})}_{j} \end{array}\}

（1）

其中，

\begin{array}{l} u_{j} = ρ π {r_{j}}^{2}, j_{p j} = \frac{1}{2} u_{j} {r_{j}}^{2}, j_{d j} = \frac{u_{j}}{12} (3 {r_{j}}^{2} + {l_{j}}^{2}) \\ (j = 1, 2, \dots, n) \end{array}

式中m_j、J_pj和J_dj分别为简化到第j个节点处的质量、极转动惯量和直径转动惯量， $m_{j}^{(d)}$ 、 $J_{p j}^{(d)}$ 和 $J_{d j}^{(d)}$ 分别为第j个节点上的集中质量、以及由集中质量产生的极转动惯量和直径转动惯量，ρ为转轴材料密度，u_j、j_pj、j_dj、r_j和l_j分别为第j个轴段单位长的质量、极转动惯量、直径转动惯量、轴段半径和轴段总长度.

若第j轴段由n个截面不同的子轴段组成，如图2（b）所示，将第j轴段的质量和转动惯量附加在轴段的两端，轴段简化为只有刚度的等截面弹性轴，则：

\begin{array}{l} m_{j}^{R} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{u_{k} c_{k} a_{k}}{l_{j}}, m_{j}^{L} = \sum_{k = 1}^{n} u_{k} c_{k} - m_{j}^{R}, \\ J_{p j}^{R} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}^{2}}{a_{k}^{2} + (l_{j} - a_{k})^{2}} j_{p k} c_{k} \\ J_{p j}^{L} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(l_{j} - a_{k})^{2}}{{a_{k}}^{2} + (l_{j} - a_{k})^{2}} j_{p k} c_{k} \\ J_{d j}^{R} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}^{2}}{a_{k}^{2} + (l_{j} - a_{k})^{2}} [j_{d k} c_{k} + \frac{1}{12} u_{k} c_{k}^{3} - u_{k} c_{k} a_{k} (l_{j} - a_{k})] \\ J_{d j}^{L} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(l_{j} - a_{k})^{2}}{a_{k}^{2} + (l_{j} - a_{k})^{2}} [j_{d k} c_{k} + \frac{1}{12} u_{k} c_{k}^{3} - u_{k} c_{k} a_{k} (l_{j} - a_{k})] \end{array}\}

（k =1， 2，…， n）

（2）

式中c_k、a_k和l_j分别为子轴段的单位长度、子轴段的质心到该轴段最上端截面的距离和整个轴段的总长.对于第j个节点，集中质量和转动惯量分别为：

\begin{array}{l} m_{j} = m_{j}^{(d)} + m_{j}^{L} + m_{j - 1}^{R}, J_{p j} = J_{p j}^{(d)} + J_{p j}^{L} + (J_{p}^{R})_{j - 1}, \\ J_{d j} = J_{d j}^{(d)} + J_{d j}^{L} + (J_{d}^{R})_{j - 1} \end{array}

（3）

2.2　轴段间传递关系

对第i轴段及该轴段上下两节点受力如图3所示，上下两个节点编号分别为i和i+1，此轴段两端的截面挠度y、转角θ、弯矩M和剪力Q关系为：

\begin{array}{l} y_{i + 1}^{L} = y_{i}^{R} + θ_{i}^{R} l_{i} + (\frac{l_{i}^{2}}{2 {(E I)}_{i}}) M_{i}^{R} + \\ \frac{l_{i}^{3}}{6 {(E I)}_{i}} (1 - \frac{6 {(E I)}_{i}}{{(κ G A)}_{i} {l_{i}}^{2}}) Q_{i}^{R} \end{array}

（4）

θ_{i + 1}^{L} = θ_{i}^{R} + \frac{l_{i}}{{(E I)}_{i}} M_{i}^{R} + (\frac{{l_{i}}^{2}}{2 {(E I)}_{i}}) Q_{i}^{R}

（5）

M_{i + 1}^{L} = M_{i}^{R} + Q_{i}^{R} l_{i}

（6）

Q_{i + 1}^{L} = Q_{i}^{R}

（7）

式中（EI）_i为轴段截面抗弯刚度，（G）_i为剪切弹性模量，（A）_i为轴段横截面积，（κ）_i为截面形状系数，对空心圆截面取2/3，实心圆截面取0.886.截面状态向量用｛δ｝表示为

{\{δ\}}_{i + 1}^{L} = {[\begin{matrix} y_{i + 1}^{L} & θ_{i + 1}^{L} & M_{i + 1}^{L} & Q_{i + 1}^{L} \end{matrix}]}^{T}

（8）

{\{δ\}}_{i}^{R} = {[\begin{matrix} y_{i}^{R} & θ_{i}^{R} & M_{i}^{R} & Q_{i}^{R} \end{matrix}]}^{T}

（9）

由式（4） ~ （7）可将式（8）和式（9）建立如下关系：

{\{δ\}}_{i + 1}^{L} = {[T_{F}]}_{i} {\{δ\}}_{i}^{R}

（10）

其中［T_F］_i是由式（4） ~ （7）得到的系数矩阵

{[T_{F}]}_{i} = [\begin{matrix} 1 & l_{i} & \frac{l_{i}^{2}}{2 {(E I)}_{i}} & \frac{l_{i}^{3}}{6 {(E I)}_{i}} (1 - \frac{6 {(E I)}_{i}}{{(κ G A)}_{i} l_{i}^{2}}) \\ 0 & 1 & \frac{l_{i}}{{(E I)}_{i}} & \frac{l_{i}^{2}}{2 {(E I)}_{i}} \\ 0 & 0 & 1 & l_{i} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

（11）

式（11）为第i轴段的传递矩阵，而对第i节点挠度y、转角θ、弯矩M和剪力Q关系为

y_{i}^{R} = y_{i}^{L}

（12）

θ_{i}^{R} = θ_{i}^{L}

（13）

M_{i}^{R} = M_{i}^{L} + (J_{p i} \frac{Ω}{ω} - J_{d i}) ω^{2} θ_{i}^{L}

（14）

Q_{i}^{R} = (m_{i} ω^{2} - k_{t i}) y_{i}^{L} + Q_{i}^{L}

（15）

式中k_ti为节点处的弹簧刚度， $J_{p i} Ω ω$ 为陀螺力矩.节点i的状态向量｛δ｝为

{\{δ\}}_{i}^{R} = {[\begin{matrix} y_{i}^{R} & θ_{i}^{R} & M_{i}^{R} & Q_{i}^{R} \end{matrix}]}^{T}

（16）

{\{δ\}}_{i}^{L} = {[\begin{matrix} y_{i}^{L} & θ_{i}^{L} & M_{i}^{L} & Q_{i}^{L} \end{matrix}]}^{T}

（17）

由式（12） ~ （15）可将式（16）和式（17）建立如下关系

{\{δ\}}_{i}^{R} = {[T_{S}]}_{i} {\{δ\}}_{i}^{L}

（18）

其中［T_S］_i是由式（12）~（15）得到的系数矩阵

{[T_{S}]}_{i} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & (J_{p i} \frac{Ω}{ω} - J_{d i}) ω^{2} & 1 & 0 \\ m_{i} ω^{2} - k_{t i} & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

（19）

式（19）即为第i节点的传递矩阵，将式（18）代入式（10）有

{\{δ\}}_{i + 1}^{L} = {[T_{F}]}_{i} {[T_{S}]}_{i} {\{δ\}}_{i}^{L} = {[T]}_{i} {\{δ\}}_{i}^{L}

（20）

{[T]}_{i} = [\begin{matrix} T_{11} & T_{21} & \frac{l_{i}^{2}}{2 {(E I)}_{i}} & \frac{l_{i}^{3}}{6 {(E I)}_{i}} (1 - \frac{6 {(E I)}_{i}}{{(κ G A)}_{i} l_{i}^{2}}) \\ T_{21} & T_{22} & \frac{l_{i}}{{(E I)}_{i}} & \frac{l_{i}^{2}}{2 {(E I)}_{i}} \\ l_{i} (m_{i} ω^{2} - k_{t i}) & (J_{p i} \frac{Ω}{ω} - J_{d i}) ω^{2} & 1 & l_{i} \\ m_{i} ω^{2} - k_{t i} & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

（21）

式（21）为第i轴段的最终传递矩阵，其中

\begin{array}{l} T_{11} = 1 + \frac{{l_{i}}^{3}}{6 {(E I)}_{i}} (1 - \frac{6 {(E I)}_{i}}{{(κ G A)}_{i} {l_{i}}^{2}}) (m_{i} ω^{2} - k_{t i}), T_{12} = l_{i} + \frac{{l_{i}}^{2}}{2 {(E I)}_{i}} (J_{p i} \frac{Ω}{ω} - J_{d i}) ω^{2}, \\ T_{21} = \frac{{l_{i}}^{2}}{2 {(E I)}_{i}} (m_{i} ω^{2} - k_{t i}), T_{22} = 1 + \frac{l_{i}}{{(E I)}_{i}} (J_{p i} \frac{Ω}{ω} - J_{d i}) ω^{2} \end{array}

（22）

重复运用（20）式可得

\begin{array}{l} {\{δ\}}_{n + 1}^{R} = {[T_{S}]}_{n + 1} {\{δ\}}_{n + 1}^{L} = {[T_{S}]}_{n + 1} {[T]}_{n} \dots \\ {[T]}_{3} {[T]}_{2} {[T]}_{1} {\{δ\}}_{1}^{L} = [T] {\{δ\}}_{1}^{L} \end{array}

（23）

其中

\begin{array}{l} [T] = {[T_{S}]}_{n + 1} {[T]}_{n} \cdot \cdot \cdot {[T]}_{3} {[T]}_{2} {[T]}_{1} \\ = [\begin{matrix} T_{11} & T_{12} & T_{13} & T_{14} \\ T_{21} & T_{22} & T_{23} & T_{24} \\ T_{31} & T_{32} & T_{33} & T_{34} \\ T_{41} & T_{42} & T_{43} & T_{44} \end{matrix}] \end{array}

（24）

式（24）为整个雾化器转轴的传递矩阵，它是一个4×4阶方阵，n表示轴段总数.当转轴两端自由时，两端截面状态向量为

{\{δ\}}_{1}^{L} = {[\begin{matrix} y_{1}^{L} & θ_{1}^{L} & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}

（25）

{\{δ\}}_{n + 1}^{R} = {[\begin{matrix} y_{n + 1}^{R} & θ_{n + 1}^{R} & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T}

（26）

将式（25）、（26）代入（23）有

[\begin{matrix} y_{n + 1}^{R} \\ θ_{n + 1}^{R} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} T_{11} & T_{12} & 0 & 0 \\ T_{21} & T_{22} & 0 & 0 \\ T_{31} & T_{32} & 0 & 0 \\ T_{41} & T_{42} & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} y_{1}^{L} \\ θ_{1}^{L} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

（27）

由式（27）有

T_{31} y_{1}^{L} + T_{32} θ_{1}^{L} = 0

（28）

T_{41} y_{1}^{L} + T_{42} θ_{1}^{L} = 0

（29）

式（28）、（29）为一个齐次代数方程组，该齐次代数方程组存在非零解，因此，其系数行列式为零，故得转轴系统的频率方程为

Δ (ω^{2}) = |\begin{matrix} T_{31} & T_{32} \\ T_{41} & T_{42} \end{matrix}| = 0

（30）

式（30）为两端自由雾化器转轴的频率方程.

图3 第 $i$ 个轴段受力图

Fig.3 Force diagram of the ith shaft segment

3 数值仿真和讨论

3.1　验证

为验证方法的正确性，采用二节点梁单元建立有限元模型进行模拟（如图4），并与本文方法进行对比，有限元模型中单元数为10628，节点数为10629.雾化器转轴几何和材料参数如表1和表2所示.

图4 雾化器转轴的有限元模型

Fig.4 Finite element model of atomizer shaft

表1 雾化器转轴几何参数

Table 1 Geometry parameters of the atomizer shaft

l/(mm)	l₁	l₂	l₃	l₄	l₅	l₆	l₇	l₈	l₉
l/(mm)	30	17	11	480	11	361	58	67	28
d/(mm)	d₁	d₂	d₃	d₄	d₅	d₆	d₇	d₈	d₉
d/(mm)	20	25	35	46	35	25	24	16	12

表2 雾化器转轴材料参数

Table 2 Material parameters of the atomizer shaft

E/MPa	G/MPa	$ρ$ /(t·mm^-3)
2.11×10⁵	8.08×10⁴	7.9×10^-9

验证中选取雾化器转轴转速 $Ω$ =0r/s，子轴段数n=30，上下轴承约束用刚性支撑，两轴承间距L=516.50mm，陶瓷约束刚度k₃=20000N/mm，雾化轮半径r^（^d^）=105mm，高h^（^d^）=90mm，质量m^（^d^）=0.0184t，由雾化轮质量产生的 $J_{p}^{(d)}$ 和 $J_{d}^{(d)}$ 分别为116.7t‧mm²和73.70t‧mm².表3给出了本文方法和有限元计算的雾化器转轴前五阶固有频率，可见本文方法具有较高的精度.

表3 本文解和有限元计算结果对比

Table 3 Comparison of the present solutions and finite element method (FEM) calculation results

n	Present/Hz	FEM/Hz	Error/%
1	42.728	44.007	2.993
2	140.521	145.590	3.607
3	353.419	353.490	0.020
4	607.673	602.750	0.817
5	1342.341	1344.900	0.191

下面讨论各种参数对雾化器转轴振动特性影响，计算中转轴几何参数和材料参数仍如表1和表2所示.

3.2　转速的影响

图5给出了转速Ω对雾化器转轴前四阶涡动频率的影响，计算中上下轴承约束为刚性约束k₁=k₂=∞，陶瓷约束刚度k₃=20000N/mm，雾化轮质量m^（^d^）=0.0184t.由图5可见，由于存在陀螺力矩的影响，随着转速Ω的增大，转轴前四阶涡动频率出现正进动与反进动的现象，而当Ω=0r/s时，陀螺力矩消失，此时正进动频率等于反进动频率.当转速增加时，对于正进动，陀螺力矩使转轴的变形减小，提高了转轴的刚度，进而使其频率增大；而对反进动，陀螺力矩使转轴的变形增大，降低了转轴的刚度，进而使其频率减小，特别地，转速对高阶（如三、四阶）频率影响相对较小.

图5 转速对涡动频率的影响

Fig. 5 The effects of speed on the vortex frequency

3.3　雾化轮质量的影响

图6给出了雾化轮质量m^（^d^）对雾化器转轴前四阶涡动频率的影响，计算中Ω=200r/s，上下轴承约束为刚性约束，k₁=k₂=∞，陶瓷约束刚度k₃=20000N/mm.由图6可见，随雾化轮质量的增大，前四阶涡动频率都在减小，当雾化轮质量继续增大时，正进动与反进动频率曲线逐渐变缓，说明其对涡动频率的影响逐渐减小.从图中亦可见，雾化轮质量的变化对一、二阶涡动频率影响较为明显，当雾化轮的质量增加至0.045t时，其涡动频率变缓趋势并不明显；而雾化轮质量的变化对三、四阶涡动频率影响较小，当雾化轮的质量增加至0.045t时，其涡动频率的变化趋势较为平缓.

图6 雾化轮质量对涡动频率的影响

Fig. 6 The effects of atomization wheel mass on the vortex frequency

3.4　陶瓷约束刚度对临界转速的影响

图7给出了陶瓷约束刚度k₃对雾化器转轴前四阶临界转速的影响，计算中 $Ω$ =200r/s，上下轴承约束为刚性约束k₁=k₂=∞，雾化轮质量m^（^d^）=0.0184t.由图7可见，陶瓷约束刚度k₃小于5000N/mm时对一阶临界转速有明显影响，二阶、三阶和四阶临界转速整体上随陶瓷约束刚度k₃的增大呈缓慢增加趋势，其中二、四阶临界转速增加幅值较大，而第三阶涡动频率因不动点与下轴承约束重合，导致陶瓷约束刚度k₃的变化对三阶临界转速影响很小.

图7 陶瓷约束刚度对临界转速的影响

Fig. 7 The effects of ceramic confinement stiffness on the critical speed

4 结论

本文基于Timoshenko梁理论，利用传递矩阵法计算了雾化器转轴前四阶涡动频率，研究了参数对其振动特性的影响，得到以下结论：

（1）转速大于0r/s时，由于存在陀螺力矩的影响，雾化器转轴的前四阶涡动频率出现正进动与反进动的现象，且转速对高阶（如三、四阶）涡动频率影响较小；

（2）雾化轮质量增大，雾化器转轴的前四阶涡动频率减小，且雾化轮质量对一、二阶涡动频率影响较大，而对三、四阶涡动频率影响较小；

（3）陶瓷约束刚度对雾化器转轴二、四阶临界转速有明显影响，对第三阶临界转速影响最小.

参考文献

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雾化器转轴振动特性研究

摘要

关键词

引言

1 雾化器转轴模型