圆柱单自由度和双自由度涡激振动特性研究

曹兴，刘宇飞，于恒，孔祥鑫，李庆领; Cao Xing; Liu Yufei; Yu Heng; Kong Xiangxin; Li Qingling

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圆柱单自由度和双自由度涡激振动特性研究

- ORCID：
曹兴
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刘宇飞
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于恒
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孔祥鑫
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李庆领

青岛科技大学机电工程学院，青岛 266061

最近更新：2021-01-05

DOI：10.6052/1672-6555-2020-049

摘要

对圆柱绕流的涡激振动过程进行了数值模拟，研究了单、双自由度下涡激振动的力学特性、振幅特性、频谱特性，探讨了单、双自由度的适用条件.结果表明，单自由度条件下，随着约化速度的增加，阻力系数时均值先增大后减小，升力系数幅值先增大后减小再增大，且进入和离开“锁定”区间时二者均会产生波动.双自由度条件下，横向与流向无量纲振幅均随雷诺数的增大先增大后减小.低质量比时，流向振动的影响不可忽略，而高质量比时，可忽略流向振动的影响.

关键词

涡激振动; 单自由度; 双自由度; 质量比; 数值模拟

引言

圆柱涡激振动作为一种经典的流固耦合现象，广泛存在于多种工程领域中，例如高大建筑物、海洋立管、桥梁的桥墩和拉索等^［

1-3］.涡激振动现象具有强烈的非线性和共振特性，特别是旋涡脱落频率锁定在圆柱的固有频率上时，会持续产生大幅值共振，从而减少结构物寿命，造成疲劳破坏.因此，对于涡激振动现象的研究具有十分重要的工程与应用价值，引起了众多学者的广泛关注^{［参考文献 4-6}4-6］.

由于流动问题的复杂性，在以往对涡激振动现象的研究中，通常忽略流向运动，只考虑横向的单自由度运动.Feng等^［

7］最早开展了弹性圆柱横向单自由度涡激振动实验.Anagnostopoulos等^{［参考文献 8

百度学术}8］研究了低雷诺数单自由度下圆柱的涡激振动，发现雷诺数减小会使最大振幅明显减小.Pan等^{［参考文献 9

百度学术}9］对单自由度低质量比涡激振动开展了数值模拟.Klamo等^{［参考文献 10

百度学术}10］研究了单自由度圆柱涡激振动的振幅，观测到了振动的三个响应分支.Jin等^{［参考文献 11

百度学术}11］对单自由度圆柱涡激振动进行了数值模拟，得到了与实验非常接近的数值结果.Guilmineau等^{［参考文献 12

百度学术}12］采用数值方法对单自由度、高雷诺数下涡激振动进行了研究.Khalak等^{［参考文献 13

百度学术}13］通过实验方法对涡激振动进行了研究，发现质量比会对横向涡激振动响应特性产生显著影响.

后有研究提出，在某些条件下同时考虑流向和横向两个自由度，才能对物体涡激振动现象做出准确描述，对双自由度涡激振动的研究随之增多.Gsell等^［

14］直接数值研究了双自由度涡激振动的振动特性，观测到了与固有频率相关的振动变化.Wu等^{［参考文献 15

百度学术}15］研究了双自由度涡激振动，发现流向运动与横向运动密切相关，并总结了两者相互作用的规律.Modir等^{［参考文献 16

百度学术}16］通过实验研究发现，质量比会对双自由度涡激振动的振幅产生重要影响.Pastrana等^{［参考文献 17

百度学术}17］对双自由度涡激振动的振动规律进行了研究，发现振动幅值主要取决于质量比的大小.

虽然目前对于单自由度（1-DOF）和双自由度（2-DOF）涡激振动已开展了一定程度的研究，但何时可以使用单自由度条件，何时必须使用双自由条件，至今还未有定论.本文利用数值模拟方法对单、双自由度工况下横向与流向涡激振动的力学特性、振幅特性、频谱特性进行了研究，并在此基础上探讨了单、双自由度的适用条件.

1 数值模拟方法

1.1　物理模型与控制方程

将复杂的圆柱涡激振动现象简化为质量-弹簧-阻尼系统，柱体可以在流向（x方向）和横向（y方向）自由振动^［

18］.计算区域物理模型如图1所示，区域的几何尺寸为20D×30D（D为圆柱直径，0.1m），流体入口边界到圆柱中心的距离为10D，出口边界到圆柱中心的距离为20D，垂直于流向的上下边界到圆柱中心的距离各为10D.

图1 物理模型

Fig.1 Physical model

所采用的控制方程为：

\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0

（1）

\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{1}{ρ} \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{μ}{ρ} (\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}})

（2）

\frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} = - \frac{1}{ρ} \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{μ}{ρ} (\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}})

（3）

m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + c \frac{d x}{d t} + k x = F_{x} (t)

（4）

m \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + c \frac{d y}{d t} + k y = F_{y} (t)

（5）

式中，u、v分别为x、y方向的速度，m/s；ρ为流体密度，kg/m³；μ为流体粘度，N·s/m²；p为压力，Pa；m为圆柱质量，kg；c为系统阻尼系数；k为系统弹性系数；x、y分别为t时刻运动圆柱流向、横向位移，m；F_x（t）、F_y（t）分别为圆柱受到的流向、横向流体力，N.

1.2　边界条件与数值计算方法

本文以水为流动工质，雷诺数Re=200，选用层流模型进行计算，以清晰的显示旋涡特性.入口定义为速度入口边界；出口定义为压力出口边界，给定静压和适当的回流条件；圆柱表面设为无滑移固体壁面，近壁面处使用标准壁面函数法处理；垂直于流向的上下两边界使用对称边界条件，边界上各单元节点的变量沿法向分量为零.

压力-速度耦合选择Coupled算法，压力项离散采用Standard格式，动量方程离散采用Quick格式，瞬态项采用二阶隐式格式，动网格方法同时采用扩散光顺法与网格重构法，控制方程的求解采用四阶龙格-库塔法并通过UDF实现，时间步长设置为0.002s.当计算域内所有控制体积的各方程平均绝对残差在10^-5以下时，认为迭代计算收敛.

1.3　网格划分与独立性验证

为提高计算精度并节省计算资源，对计算区域采取结构化网格划分，圆柱周围区域网格加密处理，远场区域网格相对稀疏.圆柱水动力可分解为法向升力和流向阻力，将升力F_l和阻力F _d无量纲化，分别得到升力系数C_l和阻力系数C_d：

C_{l} = \frac{2 F_{l}}{ρ U^{2} D}

（6）

C_{d} = \frac{2 F_{d}}{ρ U^{2} D}

（7）

式中，U为流体速度，m/s；F_l、F_d分别为作用于单位长度圆柱上的升力、阻力，N/m.

选用密度不同的四套网格系统进行独立性测试，按照网格单元数由小到大（8250、15058、19110、23483）依次编号为网格1-4，计算得到的C_d时均值、C_l幅值和St如图2所示.随着网格单元数的增加，C_d时均值、C_l幅值和St均逐渐增大且变化趋势逐渐变缓，当网格单元数大于网格3的单元数后，误差小于1.0%，数值计算结果已经满足网格独立性的要求.综合考虑计算精度和效率，本文选取网格3进行计算.网格划分示意图如图3所示.

图2 网格独立性验证

Fig.2 Summary of grids independence checks for simulation

图3 计算区域网格

Fig.3 Schematic of the computational grids

1.4　数值计算方法验证

质量比m*反映材料特性，表征固体密度与流体密度的比值，可由下式计算：

m^{*} = \frac{4 \bar{m}}{ρ π D^{2}}

（8）

t时刻运动圆柱流向无量纲位移A_x*和横向无量纲位移A_y*反映圆柱振动位移与圆柱直径之间的联系，可由下式计算：

A_{x}^{*} = \frac{x}{D}

（9）

A_{y}^{*} = \frac{y}{D}

（10）

约化速度Ur反映流体速度与圆柱直径的关系，可由下式计算：

U r = \frac{U}{f_{n} D}

（11）

式中， $\bar{m}$ 表示单位长度柱体的质量，kg/m；f_n表示柱体的固有频率，Hz.

对本文数值计算方法的准确性进行验证，如图4所示.基于文献［

19，20］，本文计算得到的

A_{x}^{*}

与文献［19］和文献［20］中的

A_{x}^{*}

在Ur=3时分别相差15%、5%，在Ur=4时分别相差6.6%、4%，在Ur=5时分别相差17%、2.5%，在Ur=6时分别相差5%、8.5%，在Ur=7时分别相差3.2%、9%.基于文献［21，22］，本文计算得到的

A_{y}^{*}

与文献［21］和文献［22］中的

A_{y}^{*}

在Ur=3时均相差12%，在Ur=4时分别相差3.4%、11.1%，在Ur=5时分别相差1.9%、8.1%，在Ur=6时分别相差6.6%、9.1%，在Ur=7时分别相差1.5%、2.5%，在Ur=8时均相差18%.

(a) 流向验证

(a) In-line verification

(b) 横向验证

(a) Cross-flow verification

图4 本文结果与文献结果对比

Fig.4 Comparisons between present results and literature results

本文计算得到的 $A_{x}^{*}$ 、 $A_{y}^{*}$ 与文献中相比，具有相同的变化趋势和合理的误差，证明了本文数值计算方法的准确性.

2 数值计算结果与分析

2.1　单自由度涡激振动特性

圆柱绕流单自由度涡激振动在Re=150、m*=2.55条件下开展，工况如表1所示.

表1 单自由度涡激振动工况表

Table 1 Working cases of one degree of freedom of vortex-induced vibration

	Case1	Case2	Case3	Case4	Case5	Case6	Case7
Ur	3	4	5	6	7	8	9
f_n / Hz	8.33	6.25	5.00	4.17	3.57	3.13	2.78

2.1.1　升力系数与阻力系数

不同约化速度下升力系数、阻力系数的时间历程曲线如图5所示，图中横坐标Ut/D为无量纲时间.图5（a）~（b）中，C_d时均值和C_l幅值处于过渡状态，继而在图5（c）~（e）中出现等幅振荡，随后在图5（f）~（g）中，由于高频振荡和低频振荡周期性相位叠加，表现出明显的“拍”特征.通过计算得出，当Ur=3~9时，C_d时均值依次为1.3、1.93、1.90、1.66、1.39、1.24、1.2，C_l幅值依次为0.2、2.25、0.35、0.05、0.04、0.19、0.8.可以看出，随着Ur的增加，C_d时均值先增大后减小，C_l幅值先增大后减小再增加，两者均在Ur=4时取得最大值.

(a) Ur=3

(b) Ur=4

(d) Ur=6

(e) Ur=7

(f) Ur=8

(g) Ur=9

图5 升力系数和阻力系数的时间历程曲线

Fig.5 Time-history curve of lift and drag coefficients

2.1.2　频谱特性

如图6所示，通过快速傅里叶变换得到了不同约化速度下横向无量纲振幅和升力系数的频谱特性.Ur=3、8、9时，横向无量纲振幅频谱图中存在两个主频，一个为旋涡脱落频率，与相同约化速度下升力系数频谱图中主频频率相等，另一个为圆柱固有频率，此时旋涡脱落频率不等于圆柱固有频率，表明圆柱处于非“锁定”状态.在Ur=4、5、6、7时，横向无量纲振幅频谱图中仅存在一个主频，此时旋涡脱落频率与圆柱固有频率相等，“锁定”现象发生，旋涡脱落频率被“锁定”在圆柱的固有频率上.结合图5分析发现，进入和离开“锁定”区间时会使C_d时均值和C_l幅值产生波动，Ur=4时进入“锁定”区间，导致柱体振动突然加大，使C_l时均值和C_d幅值均短暂升高又迅速降低，Ur=8时离开锁定区间，使C_l时均值突然升高，但对于C_d幅值没有产生影响.

(a) Ur=3

(b) Ur=4

(d) Ur=6

(e) Ur=7

(f) Ur=8

(g) Ur=9

图6 横向无量纲振幅和升力系数频谱图

Fig.6 Frequency spectrogram of cross-flow dimensionless amplitude and lift coefficient

2.1.3　约化速度对频率比的影响

图7所示为频率比（旋涡脱落频率f_v与圆柱固有频率f_n之比，f_v/f_n）随约化速度Ur的变化规律.从图中可以明显观察到“锁定”现象，f_v/f_n随着Ur增大而升高，在Ur=4~7时f_v/f_n近似等于1.0，f_v“锁定”在f_n上并在此范围内始终等于f_n，随后f_v/f_n继续随Ur增大而增加.

图7 频率比随约化速度的变化

Fig.7 Variations of frequency ratio with reduced velocity

2.2　双自由度涡激振动特性

2.2.1　横向无量纲振幅

图8所示为双自由度下不同质量比横向无量纲振幅 $A_{y m}^{*}$ 的变化规律，并给出了对应条件下单自由度的 $A_{y m}^{*}$ 作为对比.双自由度条件下， $A_{y m}^{*}$ 随着Re的增加先增大后减小，且均在Re=94处取到最大值，m^*=2时 $A_{y m}^{*}$ 的最大值为1.02D，m^*=3时 $A_{y m}^{*}$ 的最大值为0.72D，m^*=5、7、12.8时 $A_{y m}^{*}$ 的最大值均为0.55D.单自由度条件下， $A_{y m}^{*}$ 随Re的增加先增大后减小，且均在Re=94处取到最大值0.55D.

(a) m*=2、3

(b) m*=5、7、12.8

图8 横向无量纲振幅随Re的变化

Fig.8 Variations of cross-flow dimensionless amplitude with Re

通过对比可以得出，m^*=2、3时， $A_{y m}^{*}$ 在双自由度条件下比单自由度条件下更大，m^*=2时前者是后者的1.85倍，m^*=3时前者是后者的1.3倍，而m^*=5、7、12.8时单、双自由度下的 $A_{y m}^{*}$ 相差很小.此外，单、双自由度条件下 $A_{y m}^{*}$ 的差值随着Re增大，表现出了先增大后减小的变化规律.

2.2.2　流向无量纲振幅

双自由度、不同质量比下流向无量纲振幅 $A_{x m}^{*}$ 随雷诺数的变化规律如图9所示.双自由度条件下不同质量比的流向无量纲振幅，随着雷诺数的增加先增大后减小，均在Re=94处取得最大值，且质量比越高 $A_{x m}^{*}$ 变化趋势越平缓，当质量比m^*=5、7、12.8时， $A_{x m}^{*}$ 趋于定值，且均小于0.05D.

图9 流向无量纲振幅随Re的变化

Fig.9 Variations of in-line dimensionless amplitude with Re

2.2.3　单、双自由度适用条件

图10给出了单、双自由度下，横向无量纲振幅随质量比的变化规律.质量比m^*=2时，圆柱横向无量纲振幅 $A_{y m}^{*}$ 在双自由度条件下比单自由度下大0.48D，质量比m^*=3时， $A_{y m}^{*}$ 在双自由度条件下比单自由度下大0.16D，随着m*继续增大两者基本相等.对比图8与图10可以发现，m^*较小时，圆柱涡激振动在双自由度条件下产生的横向振幅要比在单自由度条件下产生的横向振幅更大，必须要同时考虑圆柱流向振动和横向振动.m^*较大时，圆柱流向振动对横向振动的影响逐渐减弱，可以忽略圆柱流向振动的影响.

图10 横向无量纲振幅随质量比的变化

Fig.10 Variations of cross-flow dimensionless amplitude with mass ratio

3 结论

（1）单自由度条件下，随着约化速度的增加，阻力系数时均值先增大后减小，升力系数幅值先增大后减小再增加；频率比随约化速度的增加而逐渐升高，近似等于1.0时发生“锁定”现象，且进入和离开“锁定”区间会使阻力系数时均值和升力系数幅值产生波动.

（2）双自由度条件下，横向无量纲振幅随着雷诺数的增加先增大后减小，随着质量比的增加先减小后趋于定值；流向无量纲振幅随着雷诺数的增加先增大后减小，且质量比越高变化趋势越平缓.

（3）质量比较低时，流向振动的影响不可忽略，必须使用双自由度条件；质量比较高时，流向振动的影响较弱，可使用单自由度条件.

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