多物理场仿真开关磁阻电机定子的径向电磁振动

王峰，吴志强，李亚杰，王远岑; Wang Feng; Wu Zhiqiang; Li Yajie; Wang Yuancen

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多物理场仿真开关磁阻电机定子的径向电磁振动

- ORCID：
王峰 ^1,2
- ORCID：
吴志强 ^1,2
- ORCID：
李亚杰 ^1,2
- ORCID：
王远岑 ^1,2

1. 天津大学机械工程学院力学系，天津 300072； 2. 天津市非线性动力学与混沌控制重点实验室，天津 300072

最近更新：2020-09-01

DOI：10.6052/1672-6553-2019-046

摘要

由于双凸极结构及磁饱和特性，开关磁阻电机较它型电机有较大的径向振动.通过多物理场仿真方法，开展定子壳体径向电磁振动耦合仿真.先通过二维电磁场有限元，分别在三相和六相工作模式下，计算额定转速下电机各定子齿所受径向电磁力密度的时程.再利用定子振动特征方程，进行了定子的模态分析.最后，将电磁力密度施加到相应定子齿作为外部激励，通过瞬态结构场分析获得了定子壳体的整体变形，以及关键节点加速度在时域和频域的振动特性.结果表明，在三相模式下，正方变形模态是壳体的典型振型；在六相模式下，椭圆变形是壳体振动的典型振型.正方变形时的加速度幅值要小于椭圆变形.该工作能从振动方面指导开关磁阻电机工作模式的选择和优化.

关键词

开关磁阻电机; 定子; 径向电磁力密度; 径向振动; 多物理场仿真

引言

开关磁阻电机（SRM）以其结构简单、能量利用效率高、成本低等诸多优点，在许多领域得到了广泛的应用.然而，它却呈现出较高水平的噪声和振动，限制了其在噪声敏感领域的应用^[

1，2].除铁心叠片的磁致伸缩和机械噪声等因素之外，作用在定子上的径向电磁力是振动噪声的主要来源^{[参考文献 3-5}3-5].SRM绕组通电后，产生的电磁转矩趋于把转子拉到磁阻最小位置，同时形成对定子齿的径向电磁吸力，定子壳体随后发生径向振动，向空气中辐射声能，因此，研究径向振动对SRM减振降噪意义重大^{[参考文献 6
百度学术}6].

众所周知，当激励基频或谐波频率与SRM定子壳体的固有频率重合时，会产生较大的振动和噪声.不同结构参数对定子固有频率的影响已进行了广泛研究，包括定子形状、定子轭厚、外壁厚度、散热筋板、安装底座等^[

7-9]，并在此基础上提出一些避免共振的设计准则.定子极数目^{[参考文献 10
百度学术}10，11]，绕组连接方式^{[参考文献 12-14}12-14]等对径向振动的影响，也进行了对比和定性总结.甘醇等^{[参考文献 15
百度学术}15，16]证明采用偏斜定/转子极，能够有效地降低径向振动的幅值.新颖的双定子电机被研制，以最大限度地降低振动^{[参考文献 17
百度学术}17].这些文献，奠定了定模态和径向力的研究基础.然而，关于径向振动起源及机理的研究依然较少，现有研究手段集中在两大类：

第一类是建立径向振动与运行电气参数的关系模型.朱等^[

18]通过传递函数法，有效建立了与电参数紧密相关的径向振动模型.可惜该模型只包含一个振动模态，结果的精度欠佳.文献[19]基于少量实测样本数据，建立了基于模态叠加法的径向振动模型.林等^{[参考文献 20
百度学术}20]从瞬间功率突变的能量转换视角，对定子振动机理进行了很好的解释，定子振动模型考虑了相电压、电流和转子位置，但用状态空间法，求解的过程显得相当复杂.郭等^{[参考文献 21
百度学术}21]通过转子特殊位置下峰值加速度与关断瞬间电流及其变化率之间的关系拟合，提出一种快速计算SRM定子径向振动的方法.涉及的关键参数包括：固有频率、阻尼比及权重因子.这些经由电参数创建的径向振动模型，最大的缺点是，均需借助实验确定径向振动样本与绕组切换瞬间电参数之间的定量关系.因此，在样机设计阶段很难采用.

另一类是基于多物理场的耦合振动仿真.文献[

22]分两步建立了径向振动的模型，基于有限元法的径向力计算及基于测量的定子振动传递函数辨识，其关键参数仍需实验落实.文献[23]基于时域场重构原理构建出径向力的仿真算法，然后通过求解各阶模态的牛顿运动方程，进行模态叠加获取径向振动.文献[24]提出了通用振动噪声建模框架，内含径向振动模型，适用于各型电机壳体的振动建模.这类方法一般需三步：磁场分布的分析及径向力计算，壳体结构传递函数的辨识与建立，耦合振动响应分析.多物理场耦合仿真方法，虽会造成一定的积累误差，但在网格划分和参数设置合理的前提下能够保证一定精度，适合电机设计阶段的振动预估.

遵循多物理场仿真分析方法，通过将仿真的电磁力密度耦合到定子齿，研究开关磁阻电机定子壳体的径向电磁振动特性.主要分析步骤为：基于12/8极开关磁阻电机，首先，利用麦克斯韦应力方法，通过电磁仿真获得SRM内部磁密和定子齿的径向电磁力密度的时空分布；然后，进行定子壳体的模态分析和谐响应分析，作为定子壳体避振的基础;最后，施加仿真的电磁力密度到对应的定子齿作为外激励，通过瞬态仿真研究定子变形和关键点的振动特性，从振动角度为SRM工作模式的选择提供依据.

1 定子齿径向电磁力密度

SRM定子径向耦合振动多物理场有限单元仿真流程，如图1所示.主要包括：首先，根据转子位置和电路参数自动计算定子绕组的电流.然后，将这些电流添加到二维电磁有限元模型，获得电机的磁通密度分布.用麦克斯韦应力张量法，由磁通密度计算作用在定子齿表面的电磁力密度.在定子模态和谐响应分析基础上，施加随时间变化的电磁力密度至各自对应的定子齿，生成固体结构瞬态振动场问题.分析瞬态响应后，归纳定子的瞬态整体变形，以及关键节点加速度在时频域的变化规律.

图1 SRM定子径向振动多物理场分析流程

Fig.1 Radial vibration analysis process of the stator in SRM by multiphysical simulation method

我们使用一款12/8极SRM，电机基本结构和单个定子齿所受径向力如图2所示.

图2 SRM电机结构和单个定子齿所受径向力

Fig.2 SRM structure and radial force of single tooth

SRM的技术指标见表1，包括结构尺寸和硅钢参数，是分析定子齿所受径向力的基础.

表1 12/8极开关磁阻电机的主要参数

Table 1 Main parameters of 12/8 poles SRM

Parameter	Definition	Value
$N_{s}$	Stator pole number	12
$N_{r}$	Rotor pole number	8
$h$	Rotor lamination length of the rotor	82.8mm
$D_{s o}$	Stator outer diameter	120mm
$D_{s i}$	Stator inner diameter	69.8mm
$D_{r o}$	Rotor outer diameter	69.3mm
$D_{r i}$	Rotor inner diameter	30mm
$l_{0}$	Airgap length	0.25mm
$τ$	Stator and rotor pole arc	15°
$b$	Stator yoke thickness	10mm
$N_{m}$	Turn Number of each stator pole coil	50
$μ_{0}$	Air (vacuum) permeability	4π×10^-7H/m
$μ_{r}$	Relative permeability of D360-50	5,000
$B_{s a t}$	Saturated magnetic density	2.2T
$P$	Rated power	3kW
$n_{r}$	Rated speed	3,000r/min

磁场强度H和磁感应密度B是进行电磁场分析的基本参量.在电磁有限元中，引入矢量磁位A求解H和B，进而获取磁场力等其它参数.

瞬态磁场中，有限元模型中各点的矢量磁位可通过运动方程求得^[

25]

\nabla \times \frac{1}{μ} \nabla \times A = J_{s} - σ (\frac{\partial A}{\partial t} + \nabla ν) - \nabla \times H_{c}

(1)

式中， $μ$ 为材料磁导率; $J_{s}$ 为源电流密度; $σ$ 为导体电导率; $ν$ 为运动物体的速度; $H_{c}$ 为铁磁材料矫顽力.

求得矢量磁位A后，可得到磁感应密度B和磁场强度H分别为：

B = \nabla \times A

(2)

H = \frac{B}{μ_{0} μ_{r}}

(3)

电机中的磁力线会穿过定转子铁芯和气隙，由于气隙磁阻较大，气隙的磁压降占据磁路中的绝大部分.气隙中的磁场，既有径向分量，也有切向分量，但以径向分量为主，我们通常所说的气隙磁场、气隙磁密都默认为径向分量^[

26].由切向和径向气隙磁密，可得到径向电磁力密度在平面中的表示为

f = \frac{1}{2 μ_{0}} (B_{n}^{2} - B_{t}^{2}) \vec{n}

(4)

其中， $μ_{0}$ 为真空磁导率(H/m)， $\vec{n}$ 表示径向力方向， $B_{n}$ 、 $B_{t}$ 分别为径向和切向气隙磁密(T).

电磁分析采用Maxwell 16.0软件^[

27].SRM采用电压脉冲开环控制，按照转子转角和电路参数自动计算定子电流.它以三相模式运行时，每相电压导通15°，关断30°，各相间电压依次延迟15°；控制驱动电路及三相绕组电流波形见图3.

(a) 控制驱动电路

(a) Control drive circuit

(b) 三相绕组的电流

(b) Winding currents

图3 控制驱动电路和绕组电流（三相运行时）

Fig.3 Control drive circuit and winding currents (three phase run)

之后，将三相绕组电流添加到电机本体模型的线圈激励，电机本体及网格划分见图4.计及硅钢非线性饱和特性，通过Maxwell 2D瞬态有限元电磁仿真，可计算电机内部磁密及径向电磁力密度.

图4 电机本体网格

Fig.4 Finite element method (FEM) mesh of SRM body

转子取额定转速，通过电磁场仿真可得转子运转过程中，某一时刻电机内部磁密及径向气隙磁密沿圆周的分布，见图5.可知径向气隙磁密呈现对称分布特性，在通电定子齿与转子齿重合的角度位置，径向磁密出现峰值，其它位置的径向磁密很小.

(a) 磁密分布云图

(a) Distribution of magnetic density

(b) 气隙磁密沿圆周的分布

(b) Airgap magnetic density along the circumference

图5 三相运行时，电机内部磁密及径向气隙磁密沿圆周的分布

Fig.5 Distribution of magnetic density and radial airgap magnetic density at particular moment when SRM runs by three phase

图6为单齿径向电磁力密度沿圆周的分布曲线，可知，径向电磁力密度与径向磁密的变化趋势是一致的.在通电定子齿与转子齿重合下的角度位置，定子齿表面的电磁力密度出现峰值，其它角度位置的电磁力密度接近于零.

图6 三相运行时，单齿径向电磁力密度沿圆周的分布

Fig.6 Distribution of single tooth radial magnetic force density along the circumference when SRM runs by three phase

在额定转速下，提取图6所示的单定子齿A2随着转子转动受到的电磁力.再沿弧长进行平均，可得到单齿平均径向电磁力密度.它的时程曲线及幅值谱，见图7.在定转子齿对齐位置时刻，电磁径向力是最大的，在定子与转子槽对齐位置，径向力接近于零.单齿径向力密度的幅值谱由一系列谐波组成.基频f₀为400 Hz（齿数乘以转速），其余为倍频成份.低次谐波频率在幅值谱中起主导.

(a) 定子单齿平均径向电磁力密度时程

(a) Time history of single tooth mean radial magnetic force density

(b) 平均径向电磁力密度的幅值谱

(b) Amplitude spectrum of single tooth radial magnetic force density

图7 三相运行时，定子单齿平均径向电磁力密度时程

Fig.7 Time history and amplitude spectrum of single tooth mean radial magnetic force density when SRM runs by three phase

SRM六相模式运行时分析过程类似，其获得的平均径向电磁力密度直接加载到定子相应齿.

2 固有振动频率和振型

2.1 模态分析

当径向电磁力密度幅值谱中的某次谐波频率，与定子壳体固有频率一致时，定子壳体会发生共振，导致较大的振动.因此，开展模态分析以确定定子的固有频率，便成为壳体瞬态振动分析的前提.

在模态分析中，首先将连续结构离散化，依据Hamilton能量原理，每个离散后弹性结构单元的振动方程为^[

28]

M_{e} \{{\ddot{u}}_{e}\} + C_{e} \{{\dot{u}}_{e}\} + K_{e} \{u_{e}\} = \{F {(t)}_{e}\}

(5)

组合离散的单元方程组，生成总体振动方程组，整理之后，标准的强迫振动方程为

M \{\ddot{u}\} + C \{\dot{u}\} + K \{u\} = \{F (t)\}

(6)

式中，M为质量矩阵；C为阻尼矩阵；K为刚度矩阵；{u(t)}为位移矢量；{F(t)}为外力矢量.计算固有频率时，系统为无阻尼自由振动.系统特征方程为

(K - ω^{2} M) \{U\} = \{0\}

(7)

求解该方程，可得到固有角频率 $ω_{i}$ 以及特征向量 ${\{U\}}_{i}$ .该特征向量即为 $ω_{i}$ 固有角频率(或以固有频率 $p_{i}$ 表示)对应的定子振型.

结构分析采用Ansys 18.0软件.将实际SRM定子壳体进行适当简化，其组成和结构网格划分如图8.定子齿为平行齿，计及定子的筒形外壁，以反映对定子固有频率的影响.外壁为铝合金，铁心材料为硅钢片，绕组为铜线.各材料的属性，见表2.

图8 定子壳体组成（定子铁心、绕组和外壁）和网格

Fig.8 Stator composition (stator core, windings and outer wall)

表2 定子壳体的材料属性

Table 2 Material properties of the stator housing

Component

Material

Mass

density

(kg/m³)

Young’s

modulus

(GPa)

Poisson’s

ratio

Stator

Silicon steel

7850

220

0.3

Winding

Copper

8300

110

0.34

Frame

Aluminium

2770

0.33

对定子壳体进行模态计算时，定子采用自由边界条件.定子铁芯与外壁之间为摩擦frictional约束.定子铁芯与12个线圈为接触bonded约束.模态分析后，获得定子壳体的前四阶周向模态振型，见图9. 表3列出了定子的固有频率和振型描述.

图9 定子的前四阶模态振型

Fig.9 The first four order modes of the stator

表3 定子固有频率和模态振型

Table 3 Natural frequency & mode of the stator

Order	q /(Hz)	Mode Description
1st	1185	Winding deformation
2nd	1740	Elliptical deformation
3rd	4492	Trigonometric deformation
4th	7804	Square deformation

考虑到电磁力密度的对称分布，当SRM以四个正交线圈为一相绕组，三相模式运行时，壳体以正方变形为显著模态.当以相对的两个线圈为一相绕组，六相模式运行时，壳体以椭圆变形为显著模态.选择电机运行转速时，应尽量避免电磁力密度的某次谐波接近定子的固有频率.

2.2 谐响应分析

谐响应分析是确定在已知频率正弦载荷作用下，结构响应的技术.输入是已知大小和频率的谐波载荷(如：力、力密度和强迫位移)，输出是关注位置点的位移、速度或加速度等.目的是探测共振响应频率，避免共振发生.在0~8,000Hz的范围内，分别在两种激励模式下，对SRM电机的一相定子齿，施加幅值恒定力密度谐波载荷，提取定子外壁中间节点的加速度幅值，绘制谐响应曲线如图10所示.

(a) 三相激励及六相模式下的外部载荷

(a) External force load by three phase and six-phase excitation

(b) 三相激励下，定子外壁中间节点的谐响应曲线

(b) Harmonic response of outerwall middle node by three phase excitation

图10 定子外壁中间节点的谐响应曲线

Fig.10 Harmonic response of outerwall middle node

可知，在三相激励下，由于四个定子齿的力密度载荷呈π/2对称分布，定子壳体易发生正方变形，即在4阶固有频率处，加速度幅值出现极大值.而在六相模式激励下，两个定子齿力密度载荷呈π分布，定子壳体容易发生椭圆变形，即在2阶固有频率处，加速度幅值出现极大值.

3 瞬态振动响应

瞬态振动分析也叫时程响应分析，是用来确定结构在随时间变化载荷作用下振动响应的方法.为使瞬态分析准确，结构瞬态响应的时间步长需小于电磁力密度的时间步长.这里，利用电磁有限元仿真出的沿着轴向均匀分布的径向电磁力密度，作为定子壳体的外激励.

3.1 三相方式下的振动响应

以均布载荷的方式，分别在A、B、C三相定子齿（每相4个定子齿，呈π/2的角度分布），依次施加仿真的径向电磁力密度.三相运行时，各相径向电磁力密度的加载位置及时程曲线，分别见图11.

图11 径向电磁力密度的加载位置与时程（三相激励）

Fig.11 Loading position and time history of radial magnetic force density (three phase excitation)

在径向电磁力密度的激励作用下，得到定子的整体变形、A相定子齿正对外壁中心点的加速度时程及对应的幅值谱，如图12所示.在加速度幅值谱中，接近四阶固有频率的频率成份出现最大的峰值.

(a) 某一时刻定子的整体变形云图（三相激励）

(a) Whole deformation of the stator at particular moment (three phase)

(b) 加速度的时间历程

(b) Time history of radial acceleration

图12 整体变形、外壁中间节点径向振动的时程和幅值谱

Fig.12 Whole deformation, time history and amplitude spectrum of radial acceleration in outerwall intermediate node (three phase excitation)

由于SRM的四个对称分布的线圈同时受到电流激励，相应电磁力密度同时作用在对称的四个定子齿，定子易于发生正方变形，因此，电机以三相模式运行时，4阶正方变形是定子的典型振动模态.

3.2 六相方式下的振动响应

以均布载荷的方式，分别在A、B、C、E、F、G六相定子齿（每相由正对的2个定子齿组成），施加径向电磁力密度.电机以六相运行时，径向电磁力密度的加载位置及时程曲线过程，见图13.

图13 径向电磁力密度的加载位置与时程（六相激励）

Fig.13 Loading position and time history of radial magnetic force density (six phase excitation)

同样，在径向电磁力密度的激励作用下，得到定子的整体变形、A相定子齿正对外壁中心点的加速度时程及幅值谱,见如图14.在幅值谱中，二阶固有频率1797 Hz成分出现较大峰值，它处在力密度的4次（1602 Hz）与5次谐波（1992 Hz）之间.

(a) 某一时刻定子的整体变形云图（六相激励）

(a) Whole deformation of the stator at particular moment (six phase)

(b) 加速度的时间历程

(b) Time history of radial acceleration

图14 整体变形、中间节点径向振动的时程和幅值谱（六相激励）

Fig.14 Whole deformation, time history and amplitude spectrum of radial acceleration in outerwall intermediate node (six phase excitation)

由于两个对称分布的线圈受到同时电流激励，相应电磁力密度作用在相对的两个定子齿，定子壳体易于发生椭圆变形，因此，电机以六相模式运行时，2阶椭圆形模态是定子的典型模态.

经由以上分析，电机运转时电磁力密度具有对称分布特性，通过定子结构的振动传递函数之后，会激起相应定子壳体的典型模态.相较于六相激励的椭圆变形振动，三相激励的正方变形振动加速度峰值降低.因此，12/8极电机通常以三相模式运行，这有利于显著降低电机的振动及噪声.

在文献[

10]中，采用有限元方法研究了6/4和12/8极电机的电磁力时程和频谱，同样也分析了这两种电机壳体的典型变形，并通过实验进行了验证.结果证明，6/4极SRM以三相方式运行时，呈现显著椭圆变形模态，而12/8极以三相方式运行时，呈现显著正方变形模态.在同样输出功率下，12/8极SRM定子壳体的最大变形幅值，显著低于6/4极的SRM.通过12/8极SRM在两种运行模式下的定子壳体的振动响应分析，所得结论与之是一致的，因此，采用合理的控制策略，12/8极电机可按三相或六相模式工作，三相运行利于降低电机的振动和噪声.

然而，壳体的振动会引起气隙磁密的重新分布，进而改变定子齿受到的电磁力，反过来影响壳体的径向振动，因此，考虑电磁和结构双向耦合的壳体径向振动研究，仍有待深入研究.

4 小结

本文主要通过多物理场仿真方法，研究了开关磁阻电机定子壳体的径向振动特征.先建立了电磁分析模型，仿真了径向电磁力密度，并进行了分析；然后，对定子结构进行了模态分析和谐响应分析，得到典型振动模态；最后在绕组采用三相或六相激励下，分别获得了定子壳体的整体变形、外壁中心节点振动加速度的时频域特性.

外壁中心点振动信号的频谱分布，主要是转速频率与转子齿数乘积为基频的倍频成分.SRM以三相模式运行时，四阶正方变形为典型模态.六相模式运行时，二阶椭圆变形为典型模态.

该多物理场仿真方法，可快速定性获得定子齿上的径向电磁力密度分布特性，定子的固有频率及模态.通过将其施加到相应的定子齿，能快速获得定子壳体的整体变形、外壁中间节点加速度的时频域特征，奠定了壳体辐射噪声的研究基础.该方法适合在设计阶段预估开关磁阻电机的径向振动特性，为降噪设计提供技术支撑.

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多物理场仿真开关磁阻电机定子的径向电磁振动

摘要

关键词

引言

1 定子齿径向电磁力密度

2 固有振动频率和振型

2.1 模态分析

2.2 谐响应分析

3 瞬态振动响应

3.1 三相方式下的振动响应

3.2 六相方式下的振动响应

4 小结

参考文献

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