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相关白噪声激励下双稳态Duffing⁃Van der Pol系统的随机分岔

  • 刘坤峰
  • 靳艳飞
北京理工大学 宇航学院力学系, 北京 100081

最近更新:2020-09-01

DOI:10.6052/1672-6553-2019-019

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摘要

研究了相关乘性和加性高斯白噪声激励下,双稳态Duffing-Van der Pol系统的随机P-分岔和D-分岔;利用随机平均法,得出系统幅值稳态概率密度的理论表达式,以及随机P-分岔发生的临界参数条件;通过分析概率密度曲线形状的变化,发现阻尼系数、加性和乘性噪声强度均可诱导系统出现随机P-分岔,但对系统分岔区域的影响有着明显的不同,同时Monte-Carlo数值模拟验证了理论分析的有效性.此外,利用Wolf算法得到系统的最大Lyapunov指数,并分析了系统的稳定性和随机D-分岔,发现加性和乘性噪声强度以及阻尼系数α1的增大,均会使系统趋于不稳定,而阻尼系数ε,α2的增大,可以增强系统的稳定性.

引言

随机分岔的研究始于20世纪80年代,引起了数学、物理、化学、工程等领域的普遍关注.随机分岔是非线性系统在噪声作用下产生的一种典型的非线性现象,反映了临界分岔系数对于弱随机扰动的敏感[

1-4]. 一般地讲,随机分岔主要有两种情况:一种是通过观察稳态概率密度曲线的形状随参数的变化,来判断系统是否发生随机P-分岔,P-分岔是一种静态概念.吴志强[5,6]通过奇异性理论刻画随机P-分岔发生的临界参数条件,讨论了噪声和系统参数对三稳态Duffing-Van der Pol系统的随机P-分岔和稳态响应的影响.Xu[7,8]应用随机平均法,分别研究了色噪声和Lévy稳定噪声激励下双稳态Duffing-Van der Pol振子响应的随机P-分岔现象,分析了系统参数、噪声强度对稳态概率密度的影响;另一种是通过观察最大Lyapunov指数符号的正负变化,来判断系统是否发生随机D-分岔,D-分岔是一种动态概念.我们对D-分岔的分析,建立在最大李雅普诺夫指数数值符号瞬变的基础之[9-13],故研究D-分岔的关键,就在于建立有噪声激励时对最大Lyapunov合适的定义以及能够高效、准确地计算最大Lyapunov指数的算法.从Wei[14]的研究中可以看到,使用不同的算法来计算最大Lyapunov指数,将会得到不同的分岔点.在目前来看,使用较为普遍的是Wolf算[15,16],Feng[17]对带有时滞的Duffing-Mathieu系统的稳定性分析以及Qiao[18]对可变质量Duffing系统的稳定性分析都使用wolf算法,得到的最大Lyapunov指数与理论解有着非常好的一致性.

一般情况下,加性噪声源于系统内部的涨落,而乘性噪声来源于系统所处外部环境的涨落,大多情况下乘性和加性噪声具有相互关联性,并可能对系统动力学产生较大的影响.曹力[

19]研究了互关联的噪声作用下的双稳态系统,给出了相应的一致有色噪声近似.李静辉[20]研究了相关噪声下的非平衡相变,发现乘性和加性噪声之间的互关联性对系统的相变有重要的作用.Mei和Xie[21-23]研究了互关联噪声作用下的非线性动力系统,发现噪声之间的关联性,能诱导平均首次穿越时间的曲线出现共振和抑制现象.靳艳飞[24,25]研究了色相关的乘性色噪声和周期调制噪声联合作用下,线性系统的随机共振,发现了真实的随机共振和传统的随机共振现象.但是针对相关噪声激励下非线性系统的随机分岔,相关研究还较少.本文研究了具有相关性的乘性和加性高斯白噪声作用下的双稳态Duffing-Van der Pol系统的随机分岔.利用随机平均法,计算得出系统幅值的稳态概率密度函数(PDF)曲线,通过观察曲线拓扑结构变化,并使用Wolf算法,计算出系统的最大Lyapunov指数,讨论了噪声强度、噪声互关联系数和系统参数对系统随机分岔的影响.

1 模型

考虑相关加性和乘性高斯白噪声激励下的Duffing-Van der Pol系统,其相应的随机微分方程可写为

x¨-(-ε+α1x2-α2x4)x˙+ω2x+α0x3=nt+xξt (1)

其中,ε,α1α2分别是线性和非线性阻尼系数,ω为系统固有频率,α0是非线性刚度系数,且α0是一个小参量,取α0=0.002.n(t)ξ(t)是相关的高斯白噪声,它们的统计性质满足以下条件:

n(t)=0,n(t)n(t')=2Dδ(t-t'),
ξ(t)=0,ξ(t)ξ(t')=2Qδ(t-t'),
n(t)ξ(t')=2λDQδ(t-t') (2)

其中,DQ分别为加性噪声强度和乘性噪声强度,λ是乘性噪声和加性噪声之间的关联系数.

首先,对(1)式进行如下变[

26]

n1(t)=n(t)-λD/Qξ(t) (3)

利用(3)式将(1)式变成如下不相关的高斯白噪声激励下的系统:

x¨-(-ε+α1x2-α2x4)x˙+ω2x+α0x3 =n1t+(x+λD/Q)ξt (4)

可以证明,n1(t)ξ(t)是不相关的高斯白噪声,n1(t)的统计性质为

n1(t)n1(t')=2D(1-λ2)δ(t-t') (5)

这样,我们就把原方程(1)变成了由两个不相关的高斯白噪声激励下的系统(4).以下的分析计算都是针对(4)式进行的.

2 双稳态Duffing-Van der Pol系统的稳态概率密度

在确定性情形下,当0<ε<α1/8α2时,系统(1)的相图中最多有两个吸引子共存:分别是在原点附近的平衡点和一个稳定的极限环.

为讨论噪声激励下系统(1)的分岔问题,以下应用随机平均法求解系统幅值的稳态概率密度函数.首先,引入如下变换:

x(t)=acosθ, x˙(t)=-ωasinθ, θ=ωt+ϕ. (6)

将(6)式代入(4)式,得到关于振幅和相位的标准方程为

a˙=(-ε+α1a2cos2θ-α2a4cos4θ)asin2θ+α0ωa3cos3θsinθ-sinθω2n1(t)-(acosθ+λD/Qsinθω2)ξ(t)ϕ˙=(-ε+α1a2cos2θ-α2a4cos4θ)sinθcosθ+α0ωa2cos4θ-cosθω2an1(t)-1ω2(cos2θ+λacosD/Q)ξ(t) (7)

应用随机平均[

27,28],我们可以得到振幅对应的伊藤随机微分方程:

da=-εa2+α1a38-α2a516+3aQ8ω2+D2aω2dt+1ωa2Q4+DdW(t) (8)

其中,W(t)是独立的单位Wiener过程,可以看出,振幅a不依赖于ϕ的变化,故由(8)式可以得到关于振幅a的Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK)方程

p(a,t)t=-a[(-εa2+α1a38-α2a516+3aQ8ω2+D2aω2)p]+12ω2a2Q4+D2pa2 (9)

在(9)式中,令p(a,t)t=0,可得稳态概率密度的表达式为

p(a)=NM(a)c(a)exp(U(a)) (10)

其中,

M(a)=a(Qa2+4D)C(a)=-4α2D2ω2-2α1DQω2-2εQ2ω2Q3U(a)=α1a2ω22Q+α2a2Dω2Q2-α2a4ω28Q (11)

N为归一化常数.

3 随机分岔

3.1 随机P-分岔

根据(10)式,利用p(a)拓扑性质的变化来讨论随机P-分岔.首先,根据dp(a)da=0可得以下代数方程:

a6+b1a4+b2a2+b3=0 (12)

其中,b1=2α1/α2,b2=(8εω2-2Q)/ω2α2,

b3=-8D/α2ω2.

由(12)式可以得到系统的分岔参数临界条件为

4(3b2-b12)3+(27b3-9b2b3+2b13)2=0 (13)

根据(13)式可以画出系统的三维分岔参数区间图,如图1所示.首先,我们先考虑在乘性噪声强度Q=0.08时,加性噪声强度D和阻尼ε对分岔行为的影响.图2给出了Q=0.08(ε,D)平面内的三维分岔区间图切片,所取参数为ω=1,α0=0.02.图中点A和点B是分岔边界线和直线D=0.005的交点,坐标分别为A(0.005,0.083),B(0.005,0.149).

图1 系统(1)的三维分岔参数区间图

Fig.1 Three-dimensional bifurcation region diagram of system (1)

图2 Q=0.08(ε,D)平面内的分岔区间图

Fig. 2 Bifurcation region diagram in the parameter plane (ε,D)when Q=0.08

图2可知,当(ε,D)取值落入白色区域时,稳态概率密度曲线呈双峰结构;反之,稳态概率密度曲线呈单峰结构.因此,加性噪声强度D和阻尼系数ε都可以作为系统的分岔参数,当D逐渐增大时,双峰区域将逐渐减小,且当D增大到某一值时将不会出现双峰分布.

在下面的分析中,我们讨论了不同参数对系统的稳态概率密度曲线的影响,并和数值模拟结果进行了对比.在Monte-Carlo数值模拟中,取初始条件为(x(0),x˙(0))=(0,0)dt=0.001,模拟数据长度N=107.在图3中,实线表示由(10)式得到的理论结果,符号线表示由方程(1)得到的数值结果.当阻尼系数取较小值ε=0.05时(A点的下边取值),系统稳态概率密度只有一个单峰;当阻尼系数取ε=0.1ε=0.13时(A点和B点之间取值),系统稳态概率密度为双峰结构;当阻尼系数取ε=0.17时(B点的上边取值),稳态概率密度曲线又变为单峰.因此,随着阻尼系数的增大,系统的稳态概率密度曲线,经历了从单峰到双峰,再到单峰的变化,故系统发生了两次随机P-分岔,并且Monte-Carlo数值模拟得到的结果与理论计算的结果符合较好.

图3 D=0.005,λ=0.5时不同阻尼ε下振幅的稳态PDF曲线

Fig.3 Stationary PDF of amplitude under different damping coefficients when D=0.005,λ=0.5

下面我们研究了非线性阻尼系数α1α2对系统分岔行为的影响.图4给出了D=0.005, Q=0.08, ε=0.08ω=1(α1,α2)平面内的三维分岔区间图切片.固定α2=0.636,当α1沿着图4中的箭头方向在不同区域取值时,图5给出相应的稳态概率密度曲线图.容易发现随着α1的增大,振幅的稳态概率密度曲线,经历了从单峰到双峰,再到单峰的变化,从而说明阻尼系数α1可以作为分岔参数,引起随机P-分岔的发生.同样地,在图4中固定α1,改变α2的大小同样也能引起随机P-分岔的发生,在此不做赘述.

图4 (α1,α2)平面内的分岔区间图

Fig.4 Bifurcation region diagram in the parameter plane (α1,α2)

图5 α2=0.636,λ=0.5时不同阻尼α1下幅值的稳态PDF曲线

Fig.5 Stationary PDF of amplitude under different damping coefficients α1 when α2=0.636,λ=0.5

接下来,我们将分析噪声强度及噪声之间的关联系数对系统分岔行为的影响.图6给出了加性噪声强度D不同时,(ε,Q)参数平面内分岔临界边界.随着D的增加,系统出现双稳态所对应的参数区域明显减小,发生P-分岔所需的阻尼值也不断增大,说明D的增大在一定程度上可以抑制系统随机P-分岔的发生,同时也说明较小的D更容易激发出系统的双稳态响应. 图7给出了阻尼系数不同时,(D,Q)参数平面内三组分岔临界边界.当阻尼系数取较小值时,系统的分岔边界是一条单一的曲线;增大阻尼系数,分岔边界变成两条曲线;继续增大阻尼,系统的分岔边界将变成一个类似三角形的区域.可以看出,阻尼对分岔区域的影响很大.

图6 不同D下(ε,Q)平面内的分岔参数区间图

Fig.6 Bifurcation region diagram in the plane(ε,Q) for different D

图7 不同ε(D,Q)平面内的分岔参数区间图

Fig.7 Bifurcation region diagram in the plane(D,Q) for different ε

利用随机平均法计算稳态概率密度式(10)时,噪声关联系数λ被平均掉了,故式(10)不含有λ.图8中,我们通过Monte-Carlo数值模拟讨论λ对随机P-分岔的影响.固定D=0.005,Q=0.08ω=1.由图8可见,在不同的噪声互关联系数作用下,稳态概率密度曲线基本上重合在一起,有着相同的变化趋势,峰的个数没有改变,说明噪声互关联系数不能诱导随机P-分岔的发生.

图8 幅值稳态PDF随λ变化的曲线

Fig.8 Curves of stationary probability density function of amplitude for different λ

3.2 随机D-分岔

利用Oseledec乘法定[

29],Lyapunov指数LE的数学表达式可以写成

LE=limtlnu(t)u(0) (14)

其中,u(t)表征原方程解轨迹相邻两点间在t时刻的距离,.为欧几里德向量范数.通过(16)式可计算出系统的最大Lyapunov指数LEmax.当LEmax>0时,系统是不稳定的;当LEmax<0时,系统是稳定的.可以根据LEmax的符号变化判断系统随机D-分岔的发生.利用Wolf算[

15,16]计算得到系统(1)的最大Lyapunov指数.

图9中固定Q=0.01α1=1ω=0.8,作出了最大Lyapunov指数随加性噪声强度D的变化曲线.由图可见,随着εα2的增大,对于较小的DLEmax由正变负,可以通过取较大的εα2使系统由不稳定变为稳定;但是对于较大的DLEmax恒为正,系统不稳定.图10中固定D=0.001,α2=1,ω=0.8,画出最大Lyapunov指数随Q的变化曲线.当Q较小时,我们发现α1的增大会使LEmax由负变正,即系统由稳定变为不稳定.

图9 Q=0.01,λ=0.1时最大Lyapunov指数作为D的函数随α2和阻尼系数ε变化的曲线

Fig.9 Largest Lyapunov exponent as a function of D with different α2 and ε when Q=0.01,λ=0.1

图10 D=0.001,λ=0.1时最大Lyapunov指数作为Q的函数随α1变化的曲线

Fig.10 Largest Lyapunov exponent as a function of Q with different α1 and D=0.001,λ=0.1

图11图12中选取ε=0.2α1=α2=1ω=0.8,研究了不同关联系数λ下最大Lyapunov指数随Q的变化.在图11中固定D=0.02,我们发现λ取不同值时LEmax随Q的变化曲线基本上相同,随着乘性噪声强度Q的增加,系统由稳定逐渐变为不稳定.当D=0.2时,由图12可以看出,增大λ的值可以减缓系统向不稳定发展的速度.因此,在较大乘性和加性噪声强度的激励下,噪声互关联系数对系统的稳定性有较大影响.由图9-12可以看出,系统阻尼系数ε,α1α2以及噪声强度均可以诱导系统出现随机D-分岔.

图11 D=0.02时最大Lyapunov指数作为Q的函数随λ变化的曲线

Fig.11 Largest Lyapunov exponent as a function of multiplicative noise intensity with different λ and D=0.02

图12 D=0.2时最大Lyapunov指数作为Q的函数随λ变化的曲线

Fig.12 Largest Lyapunov exponent as a function of multiplicative noise intensity with different λ and D=0.2

4 结论

本文主要研究了相关乘性和加性高斯白噪声激励下双稳态Duffing-Van der Pol系统的随机分岔.利用随机平均法求解系统振幅的稳态概率密度,并用Monte-Carlo数值模拟验证了理论分析的有效性,同时利用Wolf算法计算得到了系统的最大Lyapunov指数,并对系统的稳定性作出分析.研究结果表明:系统阻尼系数、加性和乘性噪声强度对系统分岔参数区域的影响有着明显的不同,且均能诱导系统发生随机P-分岔;增大加性和乘性噪声强度,均会使系统由稳定趋于不稳定,并诱发随机D-分岔;增大阻尼系数εα2,可以增强系统的稳定性,而α1的增大会削弱系统的稳定性.改变噪声互关联系数对稳态概率密度的影响很小,但在较大强度的噪声激励下,噪声互关联系数对系统的稳定性影响较大.

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