非线性边界条件下弯扭耦合梁方程组的吸引子

张婷，张建文; Zhang Ting; Zhang Jianwen

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摘要

研究具有实际背景的弯曲与扭转联合作用下梁方程组在非线性边界条件下的吸引子.首先通过Faedo-Galerkin方法证明整体解的存在唯一性，其次证明系统存在有界吸收集和半群的渐近光滑性，最后得到全局吸引子的存在.

关键词

弯曲与扭转联合; 非线性边界条件; 整体解; 全局吸引子

引言

对于力学中梁结构所确定的无穷维动力系统的研究，很多学者讨论的都是假设梁在对称平面内的弯曲振动，如果不是这种情况，通常梁的弯曲振动将会与扭转振动结合起来.对梁的弯曲与扭转联合作用的数学模型最初由学者Timoshenko^［

1］提出：

\{\begin{array}{l} E I \frac{\partial^{4} w}{\partial x^{4}} = - ρ \hat{A} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} (w - c φ) + N \frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}, \\ R \frac{\partial^{2} φ}{\partial x^{2}} - R_{1} \frac{\partial^{4} φ}{\partial x^{4}} = - ρ \hat{A} c \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} (w - c φ) + ρ I_{1} \frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}} . \end{array}

其中 $w, E, I, \hat{A}, N, R, R_{1}, φ, ρ, c, I_{1}$ 分别表示挠度、杨氏模量、截面惯性矩、梁的横截面面积、轴向内力、均匀扭转的扭转刚度、翘曲刚度、翘曲函数、单位梁长的密度、阻尼系数、横截面的形心极惯性矩.

根据系统影响因素的不同，国内外许多学者分别从不同的角度进一步建立了与振动因素相对应的数学模型.Timoshenko^［

2］最先提出了该模型，并证明解的存在唯一性；Andrade^{［参考文献 3

百度学术}3］在Timoshenko的基础上增加一非线性项，在上述相同初始条件下证明了解的存在性、唯一性及正则性；张建文等^{［参考文献 4

百度学术}4，5］研究了在含有二阶空间导数的线性边界条件下的演化方程的整体解的存在性、唯一性.

以上多数研究的是该类耦合梁方程组在线性边界条件下解的存在唯一性，而对于非线性边界下解的存在唯一性仅有少数研究，如李银玉^［

6］探究了在含有三阶空间导数的非线性边界下弱解的存在性问题.但是关于弯曲与扭转联合作用下梁方程组系统的吸引子未见相关报道，因此本文主要探究如下耦合梁方程组

\{\begin{array}{l} u_{t t} + c v_{t t} + η_{1} u_{t} + α u_{x x x x} - (a + b | | u_{x} | |^{2}) u_{x x} = 0, \\ c u_{t t} + γ v_{t t} + η_{2} v_{t} + δ v_{x x x x} - β_{0} v_{x x} = 0 . \end{array}

（1）

其中， $c, η_{1}, α, b, γ, a, η_{2}, δ, β_{0}$ 为常数，且 $c^{2} < γ, x \in (0, l) .$ 在含有三阶空间导数的非线性边界条件

\{\begin{array}{l} u (0, t) = u_{x} (l, t) = u_{x x} (0, t) = 0, \\ u_{x x x} (l, t) = f_{1} (u (l, t)) + g_{1} (u_{t} (l, t)), \\ v (0, t) = v_{x} (l, t) = v_{x x} (0, t) = 0, \\ v_{x x x} (l, t) = f_{2} (v (l, t)) + g_{2} (v_{t} (l, t)) \end{array}

（2）

和初始条件

\{\begin{array}{l} u (x, 0) = u^{0} (x), u_{t} (x, 0) = u^{1} (x), \\ v (x, 0) = v^{0} (x), v_{t} (x, 0) = v^{1} (x) . \end{array}

（3）

下的全局吸引子.

在本文中，系统（1）-系统（3）描述了一个弯扭耦合梁的振动，条件（2）的第一、三方程表示该梁在左端点 $x = 0$ 处被铰接.第二、四方程与 $x = l$ 处的剪切力有关且依赖于函数 $f_{1}, g_{1}, f_{2}, g_{2}$ .进一步作为物理解释，梁的右侧受到非线性弹性力，用 $f_{1}, f_{2}$ 表示，并受到函数 $g_{1}, g_{2}$ 表示的一个非线性阻尼.

1 空间和函数假设

假设梁方程组定义在一维空间，令 $Ω = (0, l)$ ，本文分析基于如下Sobolev空间

\begin{array}{l} U = {u \in H^{1} (0, l) | u (0) = 0}, \\ V = {u \in H^{2} (0, l) | u (0) = u_{x} (l) = 0}, \\ W = {u \in V ⋂ H^{4} (0, l) | u_{x x} (0) = 0} . \end{array}

设空间 $H_{1} = W \times W \times W \times W$ ，由边界条件（2）可知初始条件满足下式

\{\begin{array}{l} u_{0 x x x} (l) = f_{1} (u_{0} (l)) + g_{1} (u_{1} (l)), \\ v_{0 x x x} (l) = f_{2} (v_{0} (l)) + g_{2} (v_{1} (l)) \end{array}

（4）

设空间 $H_{0} = V \times U \times V \times U = {\bar{H}}_{1}$ ，在 $H_{0}$ 定义如下范数： $| | (u, u_{t}, v, v_{t}) | |_{H_{0}}^{2} = | | u_{x x} | |^{2} + | | u_{t} | |^{2} + | | v_{x x} | |^{2} + | | v_{t} | |^{2}$ .

下面对函数作出假设.函数 $f_{i}, g_{i} : R \to R \in C^{1} (R)$ 并且满足 $f_{i} (0) = g_{i} (0)$ ，存在常数 $k_{i}, p_{i}, m_{i}, ρ, r \geq 0$ $(i = 1,2)$ ，对 $\forall u, v \in R$ 有

f_{i} (u) u \geq 0, f_{i} (u) u - 2 {\hat{f}}_{i} (u) \geq 0

（5）

| f_{i} (u) - f_{i} (v) | \leq k_{i} (1 + | u |^{ρ} + | v |^{ρ}) | u - v |

（6）

(g_{i} (u) - g_{i} (v)) (u - v) \geq p_{i} | u - v |^{2}

（7）

| g_{i} (u) - g_{i} (v) | \leq m_{i} (1 + | u |^{r} + | v |^{r}) | u - v |

（8）

其中 ${\hat{f}}_{i} (z) = \int_{0}^{z} f (s) d s,$ 在本文中均取 $ρ = r = 0 .$

2 整体解的存在唯一性

定理2.1 设空间 $H_{1}$ 和函数 $f_{i} (\cdot), g_{i} (\cdot)$ 的假设条件均成立，若对于任何初值 $(u^{0}, u^{1}, v^{0}, v^{1}) \in H_{1}$ ，则系统（1）-（3）有唯一的正则解 $(u (x, t), v (x, t))$ 满足：

u \in L_{l o c}^{\infty} (R^{+}, W) ⋂ C^{0} ([0, \infty); V) ⋂ C^{1} ([0, \infty); U),

v \in L_{l o c}^{\infty} (R^{+}, W) ⋂ C^{0} ([0, \infty); V) ⋂ C^{1} ([0, \infty); U),

| | u_{t} | |^{2} + | | v_{t} | |^{2} + | | u_{x x} | |^{2} + | | v_{x x} | |^{2} + | | u_{x} | |^{2} + | | v_{x} | |^{2} \leq M_{1} .

其中 $M_{1}$ 是一个正常数.

证明: (近似解) 设 $ω_{i}$ 为 $W$ 的基，对 $m \in N$ ，令

$W_{m} = {ω_{1}, ω_{2}, \cdot \cdot \cdot, ω_{m}},$ 则有函数

u^{m} (t) = \sum_{i = 1}^{m} g_{i m} (t) w_{i}, v^{m} (t) = \sum_{i = 1}^{m} h_{i m} (t) w_{i},

对 $\forall ω \in W_{m}$ ，此函数对 ${u^{m} (t), v^{m} (t)}$ 是如下逼近系统的解：

\begin{array}{l} (u_{t t}^{m} (t), ω) + c (v_{t t}^{m} (t), ω) + η_{1} (u_{t}^{m} (t), ω) + \\ (a + b | | u_{x}^{m} (t) | |^{2}) (u_{x}^{m} (t), ω_{x}) + α (u_{x x}^{m} (t), ω_{x x}) + \\ α f_{1} (u^{m} (l, t)) ω (l) + α g_{1} (u_{t}^{m} (l, t)) ω (l) = 0 \end{array}

（9）

\begin{array}{l} c (u_{t t}^{m} (t), ω) + γ (v_{t t}^{m} (t), ω) + η_{2} (v_{t}^{m} (t), ω) + \\ δ (v_{x x}^{m} (t), ω_{x x}) + β_{0} (v_{x}^{m}, ω_{x}) + \\ δ f_{2} (v^{m} (l, t)) ω (l) + δ g_{2} (v_{t}^{m} (l, t)) ω (l) = 0 \end{array}

（10）

\begin{array}{l} u^{m} (0) = u_{}^{m 0} (x), u_{t}^{m} (0) = u_{}^{m 1} (x), \\ v^{m} (0) = v_{}^{m 0} (x), v_{t}^{m} (0) = v_{}^{m 1} (x) \end{array}

（11）

且初始条件满足

\{\begin{array}{l} u^{m} (0) = u_{}^{m 0} \to u^{0}, u_{t}^{m} (0) = u_{}^{m 1} (x) \to u^{1}, \\ v^{m} (0) = v_{}^{m 0} \to v^{0}, v_{t}^{m} (0) = v_{}^{m 1} (x) \to v^{1} . \end{array}

事实上，上述方程组是关于时间 $t$ 的 $m \times m$ 常微分方程组.由Peano定理知，在 $[0, t_{m}]$ 上存在一个解 $(u^{m} (x, t), v^{m} (x, t))$ ，接下来对近似解估计，把区间 $[0, t_{m}]$ 延拓到 $[0, T], \forall T > 0$ .

估计1：在式（9）中取 $ω = 2 u_{t}^{m} (t)$ ，在式（10）中取 $ω = 2 v_{t}^{m} (t)$ ，两式相加后在区间 $(0, t) (t \leq t_{m})$ 上积分，得

\begin{array}{l} | | u_{t}^{m} (t) | |^{2} + α | | u_{x x}^{m} (t) | |^{2} + a | | u_{x}^{m} (t) | |^{2} + \frac{b}{2} | | u_{x}^{m} (t) | |^{4} + \\ γ | | v_{t}^{m} (t) | |^{2} + δ | | v_{x x}^{m} (t) | |^{2} + β_{0} | | v_{x}^{m} (t) | |^{2} + \\ 2 α {\hat{f}}_{1} (u^{m} (l, t)) + 2 δ {\hat{f}}_{2} (v^{m} (l, t)) + \\ 2 α \int_{0}^{t} g_{1} (u_{t}^{m} (l, t)) u_{t}^{m} (l, t) d t + 2 δ \int_{0}^{t} g_{2} (v_{t}^{m} (l, t)) v_{t}^{m} (l, t) d t \\ = | | u_{t}^{m} (0) | |^{2} + α | | u_{x x}^{m} (0) | |^{2} + a | | u_{x}^{m} (0) | |^{2} + \\ 2 c (u_{t}^{m} (0), v_{t}^{m} (0)) + \frac{b}{2} | | u_{x}^{m} (0) | |^{4} + γ | | v_{t}^{m} (0) | |^{2} + \\ δ | | v_{x x}^{m} (0) | |^{2} + β_{0} | | v_{x}^{m} (0) | |^{2} + \\ 2 α {\hat{f}}_{1} (u^{m} (l, 0)) + 2 δ {\hat{f}}_{2} (v^{m} (l, 0)) - 2 c (u_{t}^{m} (t), v_{t}^{m} (t)) - \\ 2 η_{1} \int_{0}^{t} | | u_{t}^{m} (t) | |^{2} d t - 2 η_{2} \int_{0}^{t} | | v_{t}^{m} (t) | |^{2} d t . \end{array}

（12）

由函数假设条件（5）和条件（7）知：等式左端后四项都大于零.因为 $c^{2} < γ$ ，所以 $\frac{c}{\sqrt[]{γ}} < 1$ ，利用Young不等式得

- 2 c | | u_{t}^{m} (t) | | \cdot | | v_{t}^{m} (t) | | \geq - \frac{c}{\sqrt[]{γ}} | | u_{t}^{m} (t) | |^{2} - c \sqrt[]{γ} | | v_{t}^{m} (t) | |^{2} .

则式（12）变为下面不等式

$\begin{array}{l} (1 - \frac{c}{\sqrt[]{γ}}) | | u_{t}^{m} (t) | |^{2} + (γ - c \sqrt[]{γ}) | | v_{t}^{m} (t) | |^{2} + α | | u_{x x}^{m} (t) | |^{2} + \\ δ | | v_{x x}^{m} (t) | |^{2} + a | | u_{x}^{m} (t) | |^{2} + \frac{b}{2} | | u_{x}^{m} (t) | |^{4} + β_{0} | | v_{x}^{m} (t) | |^{2} \\ \leq 2 η_{1} \int_{0}^{t} | | u_{t}^{m} (t) | |^{2} d t + 2 η_{2} \int_{0}^{t} | | v_{t}^{m} (t) | |^{2} d t + C . \end{array}$ 其中 $C$ 是一个正常数，在本文中不同地方的 $C$ 是不同的常数.利用Growall引理，得

\begin{array}{l} | | u_{t}^{m} (t) | |, | | v_{t}^{m} (t) | |, | | u_{x x}^{m} (t) | |, | | v_{x x}^{m} (t) | |, \\ | | u_{x}^{m} (t) | |, | | v_{x}^{m} (t) | |, | | u^{m} (t) | |, | | v^{m} (t) | | \leq M_{1} . \end{array}

其中 $M_{1}$ 是一个与 $m, t$ 无关的正常数.

估计2：在式（9）中取 $ω = u_{t t}^{m} (0)$ ，在式（10）中取 $ω = v_{t t}^{m} (0)$ ，并且 $t = 0$ ，变分后两式相加后得

\begin{array}{l} | | u_{t t}^{m} (0) | |^{2} + γ | | v_{t t}^{m} (0) | |^{2} + 2 c (u_{t t}^{m} (0), v_{t t}^{m} (0)) \\ = (a + b | | u_{x}^{m} (0) | |^{2}) (u_{x x}^{m} (0), u_{t t}^{m} (0)) - η_{1} (u_{t}^{m} (0), u_{t t}^{m} (0)) - \\ η_{2} (v_{t}^{m} (0), v_{t t}^{m} (0)) - α (u_{x x x x}^{m} (0), u_{t t}^{m} (0)) - \\ β_{0} (v_{x x}^{m} (0), v_{t t}^{m} (0)) - δ (v_{x x x x}^{m} (0), v_{t t}^{m} (0)) . \end{array}

利用Cauchy不等式，由初始条件收敛性，得

\begin{array}{l} | | u_{t t}^{m} (0) | |^{2} + γ | | v_{t t}^{m} (0) | |^{2} + 2 c (u_{t t}^{m} (0), v_{t t}^{m} (0)) \\ \leq C | | u_{t t}^{m} (0) | | + C | | v_{t t}^{m} (0) | | . \end{array}

类似于估计1中的讨论，进而根据配方法可得

| | u_{t t}^{m} (0) | | \leq M_{2}, | | v_{t t}^{m} (0) | | \leq M_{2}, \forall t \in [0, T] .

估计3：在式（9）中分别取 $t = t + ξ 和 t = t$ ，得新的两式，然后将两式作差后再取 $ω = u_{t}^{m} (t + ξ) - u_{t}^{m} (t)$ .同理，在式（10）中用类似方法，但此时取 $ω = v_{t}^{m} (t + ξ) - v_{t}^{m} (t)$ ，最后两式相加得

\begin{array}{l} \frac{1}{2} \frac{d}{d t} ϕ^{m} (t, ξ) + η_{1} | | u_{t}^{m} (t + ξ) - u_{t}^{m} (t) | |^{2} + \\ η_{2} | | v_{t}^{m} (t + ξ) - v_{t}^{m} (t) | |^{2} \\ = b | | u_{x}^{m} (t + ξ) | |^{2} (u_{x}^{m} (t + ξ), u_{x t}^{m} (t + ξ) - u_{x t}^{m} (t)) - \\ b | | u_{x}^{m} (t) | |^{2} (u_{x}^{m} (t), u_{x t}^{m} (t + ξ) - u_{x t}^{m} (t)) - \\ α [f_{1} (u^{m} (l, t + ξ)) - f_{1} (u^{m} (l, t))] (u_{t}^{m} (l, t + ξ) - u_{t}^{m} (l, t)) - \\ α [g_{1} (u_{t}^{m} (l, t + ξ)) - g_{1} (u_{t}^{m} (l, t))] (u_{t}^{m} (l, t + ξ) - u_{t}^{m} (l, t)) - \\ δ [f_{2} (v^{m} (l, t + ξ)) - f_{2} (v^{m} (l, t))] (v_{t}^{m} (l, t + ξ) - v_{t}^{m} (l, t)) - \\ δ [g_{2} (v_{t}^{m} (l, t + ξ)) - g_{2} (v_{t}^{m} (l, t))] (v_{t}^{m} (l, t + ξ) - v_{t}^{m} (l, t)) \end{array}

（13）

其中

\begin{array}{l} ϕ^{m} (t, ξ) = | | u_{t}^{m} (t + ξ) - u_{t}^{m} (t) | |^{2} + a | | u_{x}^{m} (t + ξ) - u_{x}^{m} (t) | |^{2} + \\ α | | u_{x x}^{m} (t + ξ) - u_{x x}^{m} (t) | |^{2} + γ | | v_{t}^{m} (t + ξ) - v_{t}^{m} (t) | |^{2} + \\ β_{0} | | v_{x}^{m} (t + ξ) - v_{x}^{m} (t) | |^{2} + δ | | v_{x x}^{m} (t + ξ) - v_{x x}^{m} (t) | |^{2} + \\ 2 c (u_{t}^{m} (t + ξ) - u_{t}^{m} (t), v_{t}^{m} (t + ξ) - v_{t}^{m} (t)) . \end{array}

因为 $u (0, t) = u_{x} (l, t) = u_{x x} (0, t) = 0^{[7]},$ 所以有

\begin{array}{l} | | u | |_{\infty} \leq \sqrt[]{l} | | u_{x} | |, | | u_{x} | |_{\infty} \leq \sqrt[]{l} | | u_{x x} | |, \\ | | u_{x} | | \leq l | | u_{x x} | | \end{array}

（14）

由式（14）、中值定理、函数假设条件（7）对式（13）右端估计、再利用Growall不等式得

ϕ^{m} (t, ξ) \leq ϕ^{m} (0, ξ) e x p (C T), \forall t \in [0, T] .

上述不等式两边同时除以 $ξ^{2}$ ，并令 $ξ \to 0$ ，根据导数的定义得

\begin{array}{l} | | u_{t t}^{m} (t) | |^{2} + a | | u_{x t}^{m} (t) | |^{2} + α | | u_{x x t}^{m} (t) | |^{2} + γ | | v_{t t}^{m} (t) | |^{2} + \\ β_{0} | | v_{x t}^{m} (t) | |^{2} + δ | | v_{x x t}^{m} (t) | |^{2} + 2 c (u_{t t}^{m} (t), v_{t t}^{m} (t)) \\ \leq [| | u_{t t}^{m} (0) | |^{2} + a | | u_{x t}^{m} (0) | |^{2} + α | | u_{x x t}^{m} (0) | |^{2} + \\ γ | | v_{t t}^{m} (0) | |^{2} + β_{0} | | v_{x t}^{m} (0) | |^{2} + δ | | v_{x x t}^{m} (0) | |^{2} + \\ 2 c (u_{t t}^{m} (0), v_{t t}^{m} (0))] e x p (C T) \end{array}

（15）

由估计2和初始条件的收敛性可知：存在仅依赖于 $T$ 的常数 $M_{3} > 0$ ，对 $\forall t \in [0, T]$ 有

| | u_{t t}^{m} (t) | |, | | u_{x t}^{m} (t) | |, | | u_{x x t}^{m} (t) | |, | | v_{t t}^{m} (t) | |, | | v_{x t}^{m} (t) | |, | | v_{x x t}^{m} (t) | | \leq M_{3} .

唯一性：假设 $(u, v), (\bar{u}, \bar{v})$ 是方程组的两组解，记 $w = u - \bar{u}, \bar{w} = v - \bar{v}$ ，则 $w, \bar{w}$ 满足系统

\{\begin{array}{l} w_{t t} + c {\bar{w}}_{t t} + η_{1} w_{t} + α w_{x x x x} - a w_{x x} \\ = b (| | u_{x} | |^{2} - | | {\bar{u}}_{x} | |^{2}) {\bar{u}}_{x x} + b | | u_{x} | |^{2} w_{x x}, \\ c w_{t t} + γ {\bar{w}}_{t t} + η_{2} {\bar{w}}_{t} + δ {\bar{w}}_{x x x x} - β_{0} {\bar{w}}_{x x} = 0 \end{array}

（16）

和初始条件

w (0) = \bar{w} (0) = 0, w_{t} (0) = {\bar{w}}_{t} (0) = 0

（17）

及边界条件

\{\begin{array}{l} w (0, t) = w_{x} (l, t) = w_{x x} (0, t) = 0, \\ \bar{w} (0, t) = {\bar{w}}_{x} (l, t) = {\bar{w}}_{x x} (0, t) = 0, \\ w_{x x x} (l, t) = f_{1} (u (l, t)) - f_{1} (\bar{u} (l, t)) + \\ g_{1} (u_{t} (l, t)) - g_{1} ({\bar{u}}_{t} (l, t)) \overset{Δ}{=} Λ f + Λ g, \\ {\bar{w}}_{x x x} (l, t) = f_{2} (v (l, t)) - f_{2} (\bar{v} (l, t)) + \\ g_{2} (v_{t} (l, t)) - g_{2} ({\bar{v}}_{t} (l, t)) \overset{Δ}{=} Λ \tilde{f} + Λ \tilde{g} . \end{array}

（18）

将方程（16）中的第一个方程与 $w_{t}$ 取内积，第二个方程与 ${\bar{w}}_{t}$ 取内积，然后两式相加得

\begin{array}{l} \frac{1}{2} \frac{d}{d t} (| | w_{t} | |^{2} + α | | w_{x x} | |^{2} + a | | w_{x} | |^{2} + γ | | {\bar{w}}_{t} | |^{2} + \\ δ | | {\bar{w}}_{x x} | |^{2} + β_{0} | | {\bar{w}}_{x} | |^{2} + 4 c (w_{t}, {\bar{w}}_{t})) + \\ η_{1} | | w_{t} | |^{2} + η_{2} | | {\bar{w}}_{t} | |^{2} \\ = b (| | u_{x} | |^{2} - | | {\bar{u}}_{x} | |^{2}) ({\bar{u}}_{x x}, w_{t}) + b | | u_{x} | |^{2} (w_{x x}, w_{t}) - \\ α w_{x x x} (l) w_{t} (l) - δ {\bar{w}}_{x x x} (l) {\bar{w}}_{t} (l) \end{array}

（19）

由边界条件（18）、中值定理与估计1、3对式（19）右端近似估计，最终得到某个常数 $C > 0$ ，

\begin{array}{l} \frac{d}{d t} (| | w_{t} | |^{2} + α | | w_{x x} | |^{2} + a | | w_{x} | |^{2} + γ | | {\bar{w}}_{t} | |^{2} + \\ δ | | {\bar{w}}_{x x} | |^{2} + β_{0} | | {\bar{w}}_{x} | |^{2} + 4 c (w_{t}, {\bar{w}}_{t})) \\ \leq C (| | w_{x} | |^{2} + | | {\bar{w}}_{x} | |^{2} + | | w_{t} | |^{2} + | | w_{x x} | |^{2}) . \end{array}

根据Growall引理，得 $w = 0, \bar{w} = 0$ ，所以

u (x, t) = \bar{u} (x, t), v (x, t) = \bar{v} (x, t)

唯一性证毕.

因为 $u_{x x}, u_{x x t}, v_{x x}, v_{x x t} \in L^{2} (0, \infty; L^{2} (0, l))$ ，则 $u (x, t), v (x, t) \in C^{0} ([0, \infty); V)$ ，也可得

$u (x, t), v (x, t) \in C^{1} ([0, \infty); U)$ .定理3.1证毕.

下面根据稠密性理论，证明系统（1）在初边值（2）-（3）下弱解的存在唯一性.

定理2.2 设空间 $H_{0}$ 与函数 $f_{i} (\cdot), g_{i} (\cdot)$ 的假设条件均成立，对于任何初值 $(u^{0}, u^{1}, v^{0}, v^{1}) \in H_{0}$ ，系统（1）-（3）在 $H_{0}$ 中存在唯一只与初值有关的弱解.

证明：设 $(u^{0}, u^{1}, v^{0}, v^{1}) \in H_{0}$ ，因为 $H_{1}$ 在 $H_{0}$ 中稠，则存在 $(u_{n}^{0}, u_{n}^{1}, v_{n}^{0}, v_{n}^{1}) \in H_{1}$ ，使得

$u_{n}^{0} \to u^{0}$ 在 $V$ 中， $u_{n}^{1} \to u^{1}$ 在 $U$ 中.

$v_{n}^{0} \to v^{0}$ 在 $V$ 中， $v_{n}^{1} \to v^{1}$ 在 $U$ 中.

对于任意一个 $n \in N$ ，存在 $(u_{n}, v_{n})$ 满足系统（1）-（3），有下列式成立

\{\begin{array}{l} u_{t t n} + c v_{t t n} + η_{1} u_{t n} + α u_{x x x x n} - (a + b | | u_{x n} | |^{2}) u_{x x n} = 0, \\ c u_{t t n} + γ v_{t t n} + η_{2} v_{t n} + δ v_{x x x x n} - β_{0} v_{x x n} = 0 . \end{array}

（20）

\{\begin{array}{l} u_{n} (x, 0) = u_{n}^{0} (x), u_{t n} (x, 0) = u_{n}^{1} (x), \\ v_{n} (x, 0) = v_{n}^{0} (x), v_{t n} (x, 0) = v_{n}^{1} (x) . \end{array}

（21）

\{\begin{array}{l} u_{n} (0, t) = u_{x n} (l, t) = u_{x x n} (0, t) = 0, \\ u_{x x x n} (l, t) = f_{1} (u_{n} (l, t)) + g_{1} (u_{t n} (l, t)), \\ v (0, t) = v_{x n} (l, t) = v_{x x n} (0, t) = 0, \\ v_{x x x n} (l, t) = f_{2} (v_{n} (l, t)) + g_{2} (v_{t n} (l, t)) . \end{array}

（22）

对方程（20）中的第一个方程与 $u_{t n}$ 做内积，第二个方程与 $v_{t n}$ 做内积，两式相加可得 $| | u_{t n} | |^{2} + | | v_{t n} | |^{2} + | | u_{x x n} | |^{2} + | | v_{x x n} | |^{2} + | | u_{x n} | |^{2} + | | v_{x n} | |^{2} \leq C_{0} .$ 其中 $C_{0}$ 是一个与 $n \in N$ 无关的正常数.设 $(u_{n}, v_{n}), (u_{m}, v_{m})$ 是方程（20）的两组解，令 $Z_{n, m} = u_{n} - u_{m}, {\tilde{Z}}_{n, m} = v_{n} - v_{m}, n, m \in N$ ，与正则解的唯一性步骤相似，并且考虑到 $u_{n}^{0}, u_{n}^{1}, v_{n}^{0}, v_{n}^{1}$ 的收敛性，则存在 $(u, v)$ 满足

$u_{n} \to u$ 在 $C ([0, T]; V)$ 强收敛，

$u_{t n} \to u_{t}$ 在 $C ([0, T]; U)$ 强收敛，

$v_{n} \to v$ 在 $C ([0, T]; V)$ 强收敛，

$v_{t n} \to v_{t}$ 在 $C ([0, T]; U)$ 强收敛.

由上面的收敛性，并取 $n \to \infty$ ，则有

\{\begin{array}{l} u_{t t} + c v_{t t} + η_{1} u_{t} + α u_{x x x x} - (a + b | | u_{x} | |^{2}) u_{x x} = 0, \\ c u_{t t} + γ v_{t t} + η_{2} v_{t} + δ v_{x x x x} - β_{0} v_{x x} = 0 . \end{array}

定理2.2证毕.

注：由定理2.2可知系统（1）-（3）能在空间 $H_{0}$ 上定义一个连续半群.如果 $(u^{0}, u^{1}, v^{0}, v^{1}) \in H_{0}$ ，那么可以引入映射

{S {(t)}}_{t \geq 0} : (u^{0}, u^{1}, v^{0}, v^{1}) \to (u (t), u_{t} (t), v (t), v_{t} (t))

它是 $H_{0}$ 到 $H_{0}$ 的一个映射并且满足半群性质，则 $S (t)$ 是定义在 $H_{0}$ 上的连续半群.

3 全局吸引子

定义3.1 对任何一个有界集 $B \subset H$ ，存在 $t_{B} = t (B) \geq 0$ 满足 $S (t) B \subset ℬ, \forall t \geq t_{B}$ ，则有界集 $ℬ \subset H$ 是半群 $S (t)$ 的一个吸收集，定义 $(H, S (t))$ 是一个耗散的动力系统^［

8］.

定理3.2 在定理2.2的假设（u₀，u₁，v₀，v₁）∈H₀下，系统（1）-（3）相对应的半群 $S (t)$ 在空间 $H_{0}$ 上存在有界吸收集.

证明: 任取一个有界集 $B \in H_{0}$ ，使初值 $(u^{0}, u^{1}, v^{0}, v^{1}) \in B$ ，满足

(u (t), u_{t} (t), v (t), v_{t} (t)) = S (t) (u^{0}, u^{1}, v^{0}, v^{1})

首先给出能量等式

\begin{array}{l} E (t) = \frac{1}{2} (| | u_{t} | |^{2} + α | | u_{x x} | |^{2} + a | | u_{x} | |^{2} + \frac{b}{2} | | u_{x} | |^{4} + \\ γ | | v_{t} | |^{2} + δ | | v_{x x} | |^{2} + β_{0} | | v_{x} | |^{2}) + \\ α {\hat{f}}_{1} (u (l, t)) + δ {\hat{f}}_{2} (v (l, t)) + c (u_{t}, v_{t}) . \end{array}

（23）

定义辅助函数

φ (t) = \int_{0}^{l} (u_{t} u + γ v_{t} v + c v_{t} u + c u_{t} v + \frac{η_{1}}{2} u^{2} + \frac{η_{2}}{2} v^{2}) d x

（24）

系统（1）的第一个方程与 $u_{t} + ε u$ 做内积，第二个方程与 $v_{t} + ε v$ 做内积，然后将所得两式相加并整理有

\begin{array}{l} \frac{d}{d t} E (t) + ε \frac{d}{d t} φ (t) + 2 ε E (t) + \frac{b ε}{2} | | u_{x} | |^{4} + η_{1} | | u_{t} | |^{2} + \\ η_{2} | | v_{t} | |^{2} + α g_{1} (u_{t} (l, t)) u_{t} (l, t) + δ g_{2} (v_{t} (l, t)) v_{t} (l, t) \\ = [2 ε α {\hat{f}}_{1} (u (l, t)) - ε α f_{1} (u (l, t)) u (l, t)] + \\ [2 ε δ {\hat{f}}_{2} (v (l, t)) - ε δ f_{2} (v (l, t)) v (l, t)] - \\ ε α g_{1} (u_{t} (l, t)) u (l, t) - ε δ g_{2} (v_{t} (l, t)) v (l, t) + \\ 4 ε c (u_{t}, v_{t}) + 2 ε | | u_{t} | |^{2} + 2 γ ε | | v_{t} | |^{2} \end{array}

（25）

根据条件（5）得

| 2 ε α {\hat{f}}_{1} (u (l, t)) - ε α f_{1} (u (l, t)) u (l, t) | \leq 0,

| 2 ε δ {\hat{f}}_{2} (v (l, t)) - ε δ f_{2} (v (l, t)) v (l, t) | \leq 0 .

根据条件（8）、条件（14）， $| | u_{x} | |^{2} \leq C_{0}$ ， $C_{0}$ 是一个只与 $B$ 有关的正常数，结合Young不等式有

\begin{array}{l} | ε α g_{1} (u_{t} (l, t)) u (l, t) | \leq | 3 m_{1} ε α u_{t} (l) u (l) | \\ \leq \frac{3 m_{1} ε α}{2} | u_{t} (l) |^{2} + \frac{3 m_{1} ε α l C_{0}}{2}, \end{array}

| ε δ g_{2} (v_{t} (l, t)) v (l, t) | \leq \frac{3 m_{2} ε δ}{2} | v_{t} (l) |^{2} + \frac{3 m_{2} ε δ l C_{0}}{2}

（26）

根据条件（7）得

| α g_{1} (u_{t} (l, t)) u_{t} (l, t) | \geq α p_{1} | u_{t} (l, t) |^{2},

| δ g_{2} (v_{t} (l, t)) v_{t} (l, t) | \geq δ p_{2} | v_{t} (l, t) |^{2} .

把上述估计代入式（25），进一步整理得

$\begin{array}{l} \frac{d}{d t} E (t) + ε \frac{d}{d t} φ (t) + 2 ε E (t) + \frac{b ε}{2} | | u_{x} | |^{4} + \\ (η_{1} - 2 ε c - 2 ε) | | u_{t} | |^{2} + (η_{2} - 2 ε c - 2 γ ε) | | v_{t} | |^{2} + \\ (α p_{1} - \frac{3 m_{1} ε α}{2}) | u_{t} (l, t) |^{2} + (δ p_{2} - \frac{3 m_{2} ε δ}{2}) | v_{t} (l, t) |^{2} \\ \leq \frac{3 m_{1} ε α l C_{0}}{2} + \frac{3 m_{2} ε δ l C_{0}}{2}, \end{array}$ 取 $0 < ε \leq m i n {2 p_{1} / 3 m_{1}, 2 p_{2} / 3 m_{2}, η_{1} / (2 + c)$

$η_{2} / (2 c + 2 γ)} = ε_{0}$ 足够小时，得到

\frac{d}{d t} E (t) + ε \frac{d}{d t} φ (t) + 2 ε E (t) \leq \frac{3 m_{1} ε α l C_{0}}{2} + \frac{3 m_{2} ε δ l C_{0}}{2} .

（27）

由能量等式（23），得

\begin{array}{l} E (t) \geq \frac{α}{2} | | u_{x x} | |^{2} + \frac{δ}{2} | | v_{x x} | |^{2} + (1 - \frac{c}{2}) | | u_{t} | |^{2} + \\ (γ - \frac{c}{2}) | | v_{t} | |^{2} \geq ρ_{0} | | (u, u_{t}, v, v_{t}) | |_{H_{0}}^{2} . \end{array}

（28）

其中 $ρ_{0} = m i n {α / 2, δ / 2, (1 - c) / 2, (γ - c) / 2} .$ 设 $E_{ε} (t) = E (t) + ε φ (t)$ ，则根据 $φ (t)$ 的定义并利用Young 不等式，得

| E_{ε} (t) - E (t) | = | ε φ (t) | \leq ε C_{1} E (t)

（29）

其中 $C_{1} = m a x {1 + 2 c, γ + 2 c, 1 + c + η, γ + c + η_{2}}$ ，不难推出对 $ε$ 足够小时，有

\frac{1}{2} E (t) \leq E_{ε} (t) \leq \frac{3}{2} E (t)

（30）

结合 $E_{ε} (t)$ 的定义，同时把式（30）代入式（27）得

\frac{d}{d t} E_{ε} (t) + \frac{4 ε}{3} E_{ε} (t) \leq ε (\frac{3 m_{1} α l C_{0}}{2} + \frac{3 m_{2} δ l C_{0}}{2}),

应用Growall不等式有

\begin{array}{l} E_{ε} (t) \leq E_{ε} (0) e^{- \frac{4 ε}{3} t} + [\frac{9}{8} C_{0} l (m_{1} α + m_{2} δ)] \\ (1 - e^{- \frac{4 ε}{3} t}) \end{array}

（31）

因为正不变集 $B$ 有界， $E_{ε} (0)$ 也有界，则存在 $t_{B} > 0$ ，当 $t_{B}$ 足够大时，有

\frac{1}{2} E (t) \leq E_{ε} (t) \leq \frac{9}{8} C_{0} l (m_{1} α + m_{2} δ)

（32）

从式（28）可得， $\forall t > t_{B}$ ，

ρ_{0} | | (u, u_{t}, v, v_{t}) | |_{H_{0}}^{2} \leq E (t) \leq \frac{9}{4} C_{0} l (m_{1} α + m_{2} δ) .

因此

$ℬ = {(u, u_{t}, v, v_{t}) \in H_{0} : | | (u, u_{t}, v, v_{t}) | |_{H_{0}}^{2} \leq \frac{9}{4 ρ_{0}} C_{0} l (m_{1} α + m_{2} δ)} .$ 是系统的一个有界吸收集.

引理3.3 ^［

9］设

H

是一个巴拿赫空间，对于任何正不变有界集

B \subset H, \forall ε > 0, \exists T = T (ε, B),

满足

| | S (T) x - S (T) y | | \leq ε + ϕ_{T} (x, y), \forall x, y \in B

这里 $ϕ_{T} : H \times H \to R$ 满足对于任意序列 ${z_{n}} \in B$ ，

\underset{k \to \infty}{l i m} i n f \underset{l \to \infty}{l i m} i n f ϕ_{T} (z_{k}, z_{l}) = 0

那么半群 $S (t)$ 在 $H$ 中渐近光滑.

引理3.4 ^［

10］若

S (t)

是定义在度量空间

H

上的耗散的连续半群，当且仅当它在

H

中渐近光滑，则

S (t)

在

H

中有紧的全局吸引子.

定理3.5 在定理2.2的假设 $(u^{0}, u^{1}, v^{0}, v^{1}) \in H_{0}$ 下，系统（1）-（3）相对应的半群 $S (t)$ 在 $H_{0}$ 中渐近光滑.

证明：任取一个有界集 $B \in H_{0}$ ，给定初值 $(u^{0}, u^{1}, v^{0}, v^{1}), ({\bar{u}}^{0}, {\bar{v}}^{1}, {\bar{v}}^{0}, {\bar{v}}^{1}) \in B$ ，设 $(u, v), (\bar{u}, \bar{v})$ 是系统的解，那么 $w = u - \bar{u}, \bar{w} = v - \bar{v}$ 满足系统（16）及边界条件（18）.设能量等式

\begin{array}{l} F (t) = \frac{1}{2} (| | w_{t} | |^{2} + α | | w_{x x} | |^{2} + a | | w_{x} | |^{2} + γ | | {\bar{w}}_{t} | |^{2} + \\ δ | | {\bar{w}}_{x x} | |^{2} + β_{0} | | {\bar{w}}_{x} | |^{2} + b | | w_{x} | |^{2} | | u_{x} | |^{2}) + c (w_{t}, {\bar{w}}_{t}) . \end{array}

定义辅助函数

ψ (t) = \int_{0}^{l} (w_{t} w + γ {\bar{w}}_{t} \bar{w} + c {\bar{w}}_{t} w + c w_{t} \bar{w} + \frac{η_{1}}{2} w^{2} + \frac{η_{2}}{2} {\bar{w}}^{2}) d x .

式（16）的第一个方程与 $w_{t} + μ w$ 做内积，第二个方程与 ${\bar{w}}_{t} + μ \bar{w}$ 做内积，将所得两式相加得

\begin{array}{l} \frac{d}{d t} F (t) + μ \frac{d}{d t} ψ (t) + 2 μ F (t) + η_{1} | | w_{t} | |^{2} + \\ η_{2} | | {\bar{w}}_{t} | |^{2} + α Λ g w_{t} (l, t) + δ Λ \tilde{g} {\bar{w}}_{t} (l, t) \\ = b (| | u_{x} | |^{2} - | | {\bar{u}}_{x} | |^{2}) ({\bar{u}}_{x x}, w_{t}) + b (| | u_{x} | |^{2} - | | {\bar{u}}_{x} | |^{2}) \\ ({\bar{u}}_{x x}, w) - μ α (Λ f + Λ g) w (l, t) - μ δ (Λ \tilde{f} + \\ Λ \tilde{g}) \bar{w} (l, t) - α Λ f w_{t} (l, t) - δ Λ \tilde{f} {\bar{w}}_{t} (l, t) + \\ 4 μ c (w_{t}, {\bar{w}}_{t}) + 2 μ | | w_{t} | |^{2} + 2 γ μ | | {\bar{w}}_{t} | |^{2} + \\ \frac{b}{2} | | w_{x} | |^{2} \frac{d}{d t} | | u_{x} | |^{2} . \end{array}

（33）

由 $| | u_{x} | |, | | {\bar{u}}_{x} | |, | | {\bar{u}}_{x x} | | \leq C_{0}$ 与Young不等式，得

\begin{array}{l} b (| | u_{x} | |^{2} - | | {\bar{u}}_{x} | |^{2}) ({\bar{u}}_{x x}, w_{t}) \\ = b (u_{x} + {\bar{u}}_{x}, u_{x} - {\bar{u}}_{x}) ({\bar{u}}_{x x}, w_{t}) \\ \leq b | | u_{x} + {\bar{u}}_{x} | | \cdot | | u_{x} - {\bar{u}}_{x} | | \cdot | | {\bar{u}}_{x x} | | \cdot | | w_{t} | | \\ \leq \frac{b C_{0}}{2} | | w_{x} | |^{2} + \frac{b C_{0}}{2} | | w_{t} | |^{2} \end{array}

（34）

b (| | u_{x} | |^{2} - | | {\bar{u}}_{x} | |^{2}) ({\bar{u}}_{x x}, w) \leq \frac{b C_{0}}{2} | | w_{x} | |^{2} + \frac{b C_{0}}{2} | | w | |^{2}

（35）

根据条件（6）得

\begin{array}{l} | μ α Λ f w (l, t) | \leq μ α 3 k_{1} | w (l) |^{2} \leq 3 μ α k_{1} | | w | |_{\infty}^{2} \leq 3 μ α k_{1} l | | w_{x} | |^{2} \\ | μ δ Λ \tilde{f} \bar{w} (l, t) | \leq μ δ 3 k_{2} | \bar{w} (l) |^{2} \leq 3 μ δ k_{2} | | \bar{w} | |_{\infty}^{2} \leq 3 μ δ k_{2} l | | {\bar{w}}_{x} | |^{2} \end{array}

（36）

根据条件（8）得

\begin{array}{l} | μ α Λ g w (l) | \leq μ α 3 m_{1} | w_{t} (l) | \cdot | w (l) | \\ \leq μ α 3 m_{1} | w_{t} (l) | \sqrt[]{l} | | w_{x} | | \\ \leq \frac{3 m_{1} μ α \sqrt[]{l}}{2} | w_{t} (l) |^{2} + \frac{3 m_{1} μ α \sqrt[]{l}}{2} | | w_{x} | |^{2}, \end{array}

\begin{array}{l} | μ δ Λ \tilde{g} \bar{w} (l) | \leq μ δ 3 m_{2} | {\bar{w}}_{t} (l) | | \bar{w} (l) | \\ \leq \frac{3 m_{2} μ δ \sqrt[]{l}}{2} | {\bar{w}}_{t} (l) |^{2} + \frac{3 m_{2} μ δ \sqrt[]{l}}{2} | | {\bar{w}}_{x} | |^{2} \end{array}

（37）

根据条件（6）得

\begin{array}{l} | α Λ f w_{t} (l, t) | \leq 3 α k_{1} | w (l) | \cdot | w_{t} (l) | \\ \leq 3 \sqrt[]{l} α k_{1} | | w_{x} | | \cdot | w_{t} (l) | \\ \leq \frac{3 \sqrt[]{l} α k_{1}}{2} | | w_{x} | |^{2} + \frac{3 \sqrt[]{l} α k_{1}}{2} | w_{t} (l) |^{2}, \end{array}

\begin{array}{l} | δ Λ \tilde{f} {\bar{w}}_{t} (l, t) | \leq 3 δ k_{2} | \bar{w} (l) | \cdot | {\bar{w}}_{t} (l) | \\ \leq \frac{3 \sqrt[]{l} δ k_{2}}{2} | | {\bar{w}}_{x} | |^{2} + \frac{3 \sqrt[]{l} δ k_{2}}{2} | {\bar{w}}_{t} (l) |^{2} \end{array}

（38）

根据条件（7）得

\{\begin{array}{l} α Λ g w_{t} (l, t) \geq α p_{1} | w_{t} (l, t) |^{2}, \\ δ Λ \tilde{g} {\bar{w}}_{t} (l, t) \geq δ p_{2} | {\bar{w}}_{t} (l, t) |^{2} . \end{array}

（39）

利用有界性得

\begin{array}{l} | \frac{b}{2} | | w_{x} | |^{2} \frac{d}{d t} | | u_{x} | |^{2} | = | b | | w_{x} | |^{2} \int_{0}^{l} u_{x} u_{x t} d x | \\ \leq b | | w_{x} | |^{2} | | u_{x x} | | \cdot | | u_{t} | | \leq b C_{0} | | w_{x} | |^{2} . \end{array}

（40）

将上述估计（34）-（40）代到式（33），整理得到

\begin{array}{l} \frac{d}{d t} F (t) + μ \frac{d}{d t} ψ (t) + 2 μ F (t) + η_{1} | | w_{t} | |^{2} + η_{2} | | {\bar{w}}_{t} | |^{2} + \\ α p_{1} | w_{t} (l) |^{2} + δ p_{2} | {\bar{w}}_{t} (l) |^{2} \\ \leq (2 b C_{0} + 3 μ α k_{1} l + \frac{3 m_{1} μ α \sqrt[]{l}}{2} + \frac{3 \sqrt[]{l} α k_{1}}{2}) | | w_{x} | |^{2} + \\ (3 μ δ k_{2} l + \frac{3 m_{2} μ δ \sqrt[]{l}}{2} + \frac{3 \sqrt[]{l} δ k_{2}}{2}) | | {\bar{w}}_{x} | |^{2} + \\ (\frac{3 m_{1} μ α \sqrt[]{l}}{2} + \frac{3 \sqrt[]{l} α k_{1}}{2}) | w_{t} (l) |^{2} + \frac{b C_{0}}{2} | | w | |^{2} + \\ (\frac{3 m_{2} μ δ \sqrt[]{l}}{2} + \frac{3 \sqrt[]{l} δ k_{2}}{2}) | {\bar{w}}_{t} (l) |^{2} + \\ (\frac{b C_{0}}{2} + 2 μ c + 2 μ) | | w_{t} | |^{2} + (2 μ c + 2 γ μ) | | {\bar{w}}_{t} | |^{2} \end{array}

（41）

当 $μ$ 充分小时，有

\{\begin{array}{l} η_{1} - (\frac{b C_{0}}{2} + 2 μ c + 2 μ) \geq 0, \\ η_{2} - (2 μ c + 2 γ μ) \geq 0, \\ α p_{1} - (\frac{3 m_{1} μ α \sqrt[]{l}}{2} + \frac{3 \sqrt[]{l} α k_{1}}{2}) \geq 0, \\ δ p_{2} - (\frac{3 m_{2} μ δ \sqrt[]{l}}{2} + \frac{3 \sqrt[]{l} δ k_{2}}{2}) \geq 0 . \end{array}

所以，当 $0 < μ \leq m i n {\frac{2 η_{1} - b c}{4 c + 4}, \frac{η_{2}}{2 c + 2 γ}, \frac{2 p_{1} - 3 \sqrt[]{l} k_{1}}{3 \sqrt[]{l} m_{1}},$

$\frac{2 p_{2} - 3 \sqrt[]{l} k_{2}}{3 \sqrt[]{l} m_{2}}}$ 足够小时，有

\frac{d}{d t} F (t) + μ \frac{d}{d t} ψ (t) + 2 μ F (t) \leq C_{2} (| | w_{x} | |^{2} + | | {\bar{w}}_{x} | |^{2} + | | w | |^{2})

（42）

其中

\begin{array}{l} C_{2} = m a x {3 μ α k_{1} l + \frac{3 m_{1} μ α \sqrt[]{l}}{2} + \frac{3 \sqrt[]{l} α k_{1}}{2} + 2 b C_{0}, \\ 3 μ δ k_{2} l + \frac{3 m_{2} μ δ \sqrt[]{l}}{2} + \frac{3 \sqrt[]{l} δ k_{2}}{2}} . \end{array}

定义 $F_{μ} (t) = F (t) + μ ψ (t)$ ，通过类似证吸收集时的讨论知当 $μ$ 足够小时，有

\frac{1}{2} F (t) \leq F_{μ} (t) \leq \frac{3}{2} F (t)

（43）

由式（42）、式（43）得

$\frac{d}{d t} F_{μ} (t) + \frac{4 μ}{3} F_{μ} (t) \leq C_{2} (| | w_{x} | |^{2} + | | {\bar{w}}_{x} | |^{2} + | | w | |^{2})$ ， $t \geq 0 .$ 上式利用Growall引理，得

F_{μ} (t) \leq F_{μ} (0) e^{- \frac{4}{3} μ t} + C_{2} {\int_{0}^{t} e}^{- \frac{4}{3} μ (t - s)} (| | w_{x} (s) | |^{2} + | | {\bar{w}}_{x} (s) | |^{2} + | | w (s) | |^{2}) d s .

另一方面有

F_{μ} (t) \geq \frac{1}{2} F (t) \geq \frac{1}{4} ρ_{1} (| | w_{x x} | |^{2} + | | w_{t} | |^{2} + | | {\bar{w}}_{x x} | |^{2} + | | {\bar{w}}_{t} | |^{2}) .

其中 $ρ_{1} = m i n {1 - c, α, γ - c, δ} .$ 因此能找到一个只依赖于 $B$ 的常数 $C_{B}$ ，使得

\begin{array}{l} | | w (t), w_{t} (t), \bar{w} (t), {\bar{w}}_{t} (t) | |_{H_{0}} \leq \frac{2}{\sqrt[]{ρ {}_{1}}} C_{B} e^{- \frac{2}{3} μ t} + \\ \frac{2 \sqrt[]{C_{2}}}{\sqrt[]{ρ {}_{1}}} {(\int_{0}^{T} (| | w_{x} (s) | |^{2} + | | {\bar{w}}_{x} (s) | |^{2} + | | w (s) | |^{2}) d s)}^{\frac{1}{2}} . \end{array}

（44）

对于任意给定的 $ε > 0$ ，存在 $T$ ，当 $T$ 足够大时有

\frac{2}{\sqrt[]{ρ {}_{1}}} C_{B} e^{- \frac{2}{3} μ t T} < ε .

（45）

并且定义 $ϕ_{T} : H_{0} \times H_{0} \to R$ 为

\begin{array}{l} ϕ_{T} ((u^{0}, u^{1}, v^{0}, v^{1}), ({\bar{u}}^{0}, {\bar{u}}^{1}, {\bar{v}}^{0}, {\bar{v}}^{1})) = \frac{2 \sqrt[]{C_{2}}}{\sqrt[]{ρ {}_{1}}} \times \\ {(\int_{0}^{T} (| | u_{x} (t) - v_{x} (t) | |^{2} + | | {\bar{u}}_{x} (t) - {\bar{v}}_{x} (t) | |^{2} + | | u (t) - v (t) | |^{2}) d s)}^{\frac{1}{2}} . \end{array}

然后从式（44）-式（45），可得对任意的 $(u^{0}, u^{1}, v^{0}, v^{1}),$ $({\bar{u}}^{0}, {\bar{u}}^{1}, {\bar{v}}^{0}, {\bar{v}}^{1}) \in B$ ，有

\begin{array}{l} | | S (T) (u^{0}, u^{1}, v^{0}, v^{1}) - S (T) ({\bar{u}}^{0}, {\bar{u}}^{1}, {\bar{v}}^{0}, {\bar{v}}^{1}) | |_{H_{0}} \\ \leq ε + ϕ_{T} ((u^{0}, u^{1}, v^{0}, v^{1}), ({\bar{u}}^{0}, {\bar{u}}^{1}, {\bar{v}}^{0}, {\bar{v}}^{1})) . \end{array}

都成立.

令 $(u_{n}^{0}, u_{n}^{1}, v_{n}^{0}, v_{n}^{1})$ 是集合 $B$ 中给定的序列，因为 $B$ 是有界的，且是正不变的，所以系统的解的对应序列 $(u_{n} (t), u_{t n}^{} (t), v_{n} (t), v_{t n}^{} (t))$ 在 $H_{0}$ 中一致有界.因此 ${u_{n}}, {v_{n}}$ 在 $C^{0} ([0, \infty); V) ⋂ C^{1} ([0, \infty); U)$ 中有界.根据嵌入定理 $V \mapsto H_{0}^{1}$ 是紧的，则存在子序列 ${u_{n k}}, {v_{n k}}$ 在 $C ([0, \infty); H_{0}^{1} (Ω))$ 中一致强收敛.

\begin{array}{l} \underset{k \to \infty}{l i m} \underset{l \to \infty}{l i m} \int_{0}^{T} | | u_{x n k}^{} (s) - u_{x n l}^{} (s) | |^{2} + | | v_{x n k}^{} (s) - v_{x n l}^{} (s) | |^{2} d s \\ + \underset{k \to \infty}{l i m} \underset{l \to \infty}{l i m} \int_{0}^{T} | | u_{n k} (s) - u_{n l} (s) | |^{2} d s = 0, \end{array}

则有

\underset{k \to \infty}{l i m} \underset{l \to \infty}{l i m} ϕ_{T} ((u_{n k}^{0}, u_{n k}^{1}, v_{n k}^{0}, v_{n k}^{1}), (u_{n l}^{0}, u_{n l}^{1}, v_{n l}^{0}, v_{n l}^{1})) = 0 .

因此，半群 $S (t)$ 在空间 $H_{0}$ 中渐近光滑.

定理3.6 根据引理3.4，定理3.2，3.5得系统所确定的半群 $S (t)$ 在空间 $H_{0}$ 中有全局吸引子.

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非线性边界条件下弯扭耦合梁方程组的吸引子

摘要

关键词

引言

1 空间和函数假设

2 整体解的存在唯一性

3 全局吸引子

参考文献

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